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40-二叉树的直径

题面

给你一棵二叉树的根节点，返回该树的直径。

[!question] 💡 核心定义

直径 = 树中任意两个节点之间最长路径的边数

这条路径可能经过也可能 不经过 根节点

「长度」= 路径上的边数（不是节点数！）

[!warning] ⚠️ 易混淆点 「深度」vs「直径」：

最大深度：从根到最远叶子节点的单向距离（一条线）

直径：任意两节点之间的双向路径（可能穿过某个中间节点）
[!tip] 🔑 关键洞察对于任意一个节点 node，如果有一条最长路径恰好穿过它，那么：
穿过 node 的路径长度 = node 左子树的最大深度 + node 右子树的最大深度
而整棵树的直径就是所有节点中，「穿过它的最大路径」的 最大值。

示例 1：

输入：root = [1,2,3,4,5]
输出：3
解释：取路径 [4→2→1→3] 或 [5→2→1→3]，共 3 条边。

    1           ← 直径穿过了 1
   / \
  2   3        ← 路径可以是 4→2→1→3
 / \
4   5

示例 2：

输入：root = [1,2]
输出：1
解释：只有 1→2 这一条边

约束：

树中节点数目在范围 [1, 10^4] 内
-100 <= Node.val <= 100

思路

方法一：DFS 后序遍历 + 全局最大值 ⭐⭐⭐

核心洞察

[!question] 🤔 思考

第 37 题我们求过「最大深度」——它是从根出发往下走的最远距离。现在要求「直径」——它可以是树上任意两节点之间的距离。

想象你在树上找最长路径，它会「穿过」某个节点：从上侧一棵子树上来，再从下侧另一棵子树下去。这个「中间节点」不一定是根！

以 [] (1,2,3,4,5) 为例，逐步计算每个节点的数据：

    1                    ← 左深=2, 右深=1, 穿过它的直径=3 ✅ 答案!
   / \
  2   3                ← 节点3是叶子：左深=0, 右深=0, 直径贡献=0
 / \
4   5                  ← 节点4,5都是叶子：深度各为0, 直径贡献各为0

[!info] 📐 DFS 返回值的约定在这道题的标准解法中，dfs(node) 的返回值代表 以 node 为根的树的最大深度，约定空节点返回 0，计算公式为：
dfs(nil)     = 0
dfs(leaf)    = max(0, 0) + 1 = 1
dfs(internal) = max(dfs(left), dfs(right)) + 1
此时穿过当前节点的路径长度恰好等于 leftDepth + rightDepth（即边数），无需额外加减。验证：节点 1 的左深度 = 2、右深度 = 1，穿过它的路径 = 2+1 = 3 条边 ✅

执行流程图解：

flowchart TD
    Post["后序遍历：先子节点，后自身"] --> L["遍历左子树，获得左深度"]
    L --> R["遍历右子树，获得右深度"]
    R --> C["当前节点处更新直径\n通过此节点的路径 = 左深度 + 右深度"]
    C --> Ret["返回当前节点的最大深度\n给父节点使用"]
    
    style Post fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style C fill:#fce4ec,stroke:#c62828
    style Ret fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    
    linkStyle 0,1,2 stroke-width:3px

具体对 [] (1,2,3,4,5) 每个节点的详细计算：

flowchart TD
    N4["节点 4\n左深=0, 右深=0\n直径贡献=0\n返回 max=0"]
    N5["节点 5\n左深=0, 右深=0\n直径贡献=0\n返回 max=0"]
    N3["节点 3\n左深=0, 右深=0\n直径贡献=0\n返回 max=0"]
    N2["节点 2\n左深=1, 右深=1\n直径贡献=1+1=2, ans=2\n返回 max=1"]
    N1["节点 1\n左深=2, 右深=1\n直径贡献=2+1=3, ans=3\n返回 max=2"]
    
    N4 & N5 --> N2
    N3 --> N1
    N2 --> N1
    
    style N4 fill:#e3f2fd
    style N5 fill:#e3f2fd
    style N3 fill:#e3f2fd
    style N2 fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style N1 fill:#fce4ec,stroke:#c62828,stroke-width:3px

执行流程图解：

flowchart TD
    Post["后序遍历：先子节点，后自身"] --> L["遍历左子树，获得左深度"]
    L --> R["遍历右子树，获得右深度"]
    R --> C["当前节点处更新直径\n通过此节点的路径 = 左深度 + 右深度"]
    C --> Ret["返回当前节点的最大深度\n给父节点使用"]
    
    style Post fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style C fill:#fce4ec,stroke:#c62828
    style Ret fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    
    linkStyle 0,1,2 stroke-width:3px

具体对 [] (1,2,3,4,5) 每个节点的详细计算：

flowchart TD
    N4["节点 4\n左深=0, 右深=0\n直径贡献=0\n返回 max=0"]
    N5["节点 5\n左深=0, 右深=0\n直径贡献=0\n返回 max=0"]
    N3["节点 3\n左深=0, 右深=0\n直径贡献=0\n返回 max=0"]
    N2["节点 2\n左深=max(4)=1, 右深=max(5)=1\n直径贡献=1+1=2, ans=2\n返回 max=1"]
    N1["节点 1\n左深=max(2)=2, 右深=max(3)=1\n直径贡献=2+1=3, ans=3\n返回 max=2"]
    
    N4 & N5 --> N2
    N3 --> N1
    N2 --> N1
    
    style N4 fill:#e3f2fd
    style N5 fill:#e3f2fd
    style N3 fill:#e3f2fd
    style N2 fill:#fff3e0,stroke:#e65100
    style N1 fill:#fce4ec,stroke:#c62828,stroke-width:3px

算法框架

global ans = 0

function dfs(node):
    if node == nil:
        return 0
    
    // 后序：先左右子树，再当前节点
    left = dfs(node.left)   // 左子树的最大深度
    right = dfs(node.right) // 右子树的最大深度
    
    // 穿过当前节点的路径长度 = 左深度 + 右深度
    ans = max(ans, left + right)
    
    // 返回当前节点向上延伸的最大深度（供父节点使用）
    return max(left, right) + 1

function diameterOfBinaryTree(root):
    dfs(root)
    return ans

递归三要素

要素	内容
终止条件	节点为空时，返回 0
递归表达式	`left = dfs(node.left)`, `right = dfs(node.right)`
副作用	在每个节点更新全局变量 `ans = max(ans, left + right)`
返回值	以当前节点为根的树的最大深度 `max(left, right) + 1`

为什么用后序遍历？

[!info] 🧠 自底向上的必然选择要计算「穿过节点 A 的直径」，必须先知道 A 的左右子树各自有多深。这意味着子节点的处理必须在父节点之前完成——正是后序遍历（左 → 右 → 根）的执行顺序。

代码提示

DFS 伪代码

// 全局变量：记录最大直径
ans = 0

func dfs(node):
    if node == nil:
        return 0
    
    left = dfs(node.Left)      // 左子树深度（边数视角下的"层数"）
    right = dfs(node.Right)    // 右子树深度
    
    ans = max(ans, left + right)  // 更新直径
    
    return max(left, right) + 1   // 返回当前节点深度给父节点

func diameterOfBinaryTree(root):
    dfs(root)
    return ans

Go 语言实现要点

[!note] 🐹 Go 中没有真正的"全局变量"最佳实践在这道题中，有几种方式传递和修改 ans：

方案	写法	推荐度
指针传参	`func dfs(node TreeNode, ans int)`	⭐⭐⭐ 函数式风格，无副作用
闭包捕获	在 `diameterOfBinaryTree` 内定义 `var ans int` 然后用嵌套函数访问	⭐⭐⭐ 简洁直观
返回值携带	`func dfs(...) (depth, dia int)`	⭐⭐ 稍显繁琐

推荐使用 闭包捕获 的方式，既干净又自然。

技巧

[!tip] 🔑 直径 vs 深度的关系速记

深度：从某节点向下到最远叶子的「单向」路径长度

直径：从某节点向「左下 + 右下」延伸的两条分支合并后的总长

公式：diameter(node) = leftDepth + rightDepth

整棵树的直径是所有节点中这个值的 最大值

[!tip] 🔑 为什么可以用一次 DFS 搞定？很多人第一反应是「枚举每对节点 → BFS/DFS 求距离 → 取最大值」，这样是 O(n²)。但其实：

对于每个节点，穿过它的直径 = 左深度 + 右深度

左深度和右深度可以通过一次后序遍历全部算出

同时更新全局最大值，只需 O(n) 时间

[!warning] ⚠️ 常见错误

误把直径当作最大深度 × 2：只有满二叉树/完美二叉树时才碰巧相等

忘记处理单边树的情况：比如左斜树，右深度恒为 0，直径 = 最大深度

把直径当成经过根的路径：直径可能经过任何节点，不只是根

[!info] 📊 复杂度速查

维度结果

时间复杂度 O(n) — 每个节点恰好访问一次

空间复杂度 O(h) — h 为树高，递归栈深度；最坏 O(n)（链状），平均 O(log n)（平衡树）

维度	结果
时间复杂度	O(n) — 每个节点恰好访问一次
空间复杂度	O(h) — h 为树高，递归栈深度；最坏 O(n)（链状），平均 O(log n)（平衡树）

[!connection] 🔗 与相关题目的联系

37-二叉树的最大深度：直径问题的基础，深度是计算直径的子组件

543. Diameter of Binary Tree：原题（英文）两者本质相同，只是表述不同

最长路径问题：这是一般图论中「树的直径」的特例。对无权树可通过两次 BFS 求解，但二叉树场景下 DFS 更直接

[!exercise] 💪 变体练习

如果路径长度定义为节点数而非边数，如何修改代码？→ 只需将 left + right 改为 left + right + 1（当前节点也计入）

如果树中有负权边（加权二叉树），还能用此方法吗？→ 不能，需要换成分治或树形 DP

N 叉树的直径如何求解？→ 取最大的两个子节点深度之和作为直径贡献

代码

DFS + 闭包（推荐）⭐⭐⭐

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func diameterOfBinaryTree(root *TreeNode) int {
	// ans 通过闭包捕获，DFS 过程中不断刷新最大值
	ans := 0

	// dfs 返回以 node 为根的树的最大深度（层数）
	var dfs func(*TreeNode) int
	dfs = func(node *TreeNode) int {
		if node == nil {
			return 0
		}

		// 后序遍历：先获取左右子树的深度
		left := dfs(node.Left)   // 左子树的最大深度
		right := dfs(node.Right) // 右子树的最大深度

		// 穿过当前节点的路径 = 左深度 + 右深度
		// 这就是以当前节点为"最高点"的最长路径
		dia := left + right
		if dia > ans {
			ans = dia
		}

		// 返回当前节点向上传递的最大深度
		// 供父节点计算穿过它的直径时使用
		if left > right {
			return left + 1
		}
		return right + 1
	}

	dfs(root)
	return ans
}

[!success] ✅ 运行验证这是 LeetCode 第 543 题，通过率约 62%。核心只有一句话：在每个节点处，用左深度+右深度更新答案，同时返回 max(左,右)+1。面试时可先用一句话概括思路，再展开细节。

DFS + 指针传参（函数式风格）⭐⭐

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func diameterOfBinaryTree(root *TreeNode) int {
	if root == nil {
		return 0
	}

	maxDia := 0

	// dfs 返回深度，通过指针修改 maxDia
	var dfs func(*TreeNode) int
	dfs = func(node *TreeNode) int {
		if node == nil {
			return 0
		}

		left := dfs(node.Left)
		right := dfs(node.Right)

		*maxDia = left + right
		if d := left + right; d > *maxDia {
			*maxDia = d
		}

		if left > right {
			return left + 1
		}
		return right + 1
	}

	dfs(root)
	return *maxDia
}

[!note] 🐹 两种写法的选择闭包方式中 ans 是外层函数的局部变量，内层 dfs 直接读取和赋值，无需额外类型声明。指针方式更"显式"地表明 dfs 会修改外部状态，在团队协作中可读性更强。个人偏好闭包——Go 的闭包在语法上是原生支持的，不需要像 Java/C++ 那样用 AtomicInteger 或引用包装类。

对比：错误思路（仅考虑经过根的直径）❌

// ❌ 错误示范：这样做只能得到"经过根节点的直径"
func wrongApproach(root *TreeNode) int {
	if root == nil {
		return 0
	}
	// 只计算了穿过根节点的路径！
	// 如果最长路径不经过根，就会返回错误结果
	left := maxDepth(root.Left)
	right := maxDepth(root.Right)
	return left + right
}

func maxDepth(node *TreeNode) int {
	if node == nil {
		return 0
	}
	l, r := maxDepth(node.Left), maxDepth(node.Right)
	if l > r {
		return l + 1
	}
	return r + 1
}

[!failure] ❌ 为什么不正确？上面的代码只考虑了穿过根节点的直径，但对于 [] (1,2,null,3,4)：
    1
   /
  2
 / \
3   4
经过根的直径 = 1（左）+ 0（右）= 1 但正确答案是经过节点 2 的路径 3→2→4，长度为 2

必须用 DFS 在后序遍历过程中逐个节点尝试，才能覆盖所有可能！

13 KiB Raw Blame History Unescape Escape