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tags: ["LeetCode", "链表", "分治", "归并排序", "递归", "中等"]
create time: 2026-05-18 14:30
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# 33-排序链表

## 题面

给你链表的头结点 `head`，请将其按 **升序** 排列并返回排序后的链表。

**示例 1：**

```
输入：head = [4,2,1,3]
输出：[1,2,3,4]
```

**示例 2：**

```
输入：head = [-1,5,3,4,0]
输出：[-1,0,3,4,5]
```

**示例 3：**

```
输入：head = []
输出：[]
```

**提示：**

- 链表中节点的数目在范围 `[0, 5 * 10^4]` 内
- `-10^5 <= Node.val <= 10^5`
- **进阶：** 你可以在 `O(n log n)` 时间复杂度和常数级空间复杂度下，对链表进行排序吗？

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## 思路

> [!question] 💡 引导思考
> 对数组排序，你最熟悉的是什么算法？快速排序、归并排序、堆排序——它们的平均时间复杂度都是 O(n log n)。但有一个关键差异：**数组支持随机访问**，可以通过下标 O(1) 拿到中间元素；而**链表只能顺序遍历**。这意味着基于二分查找思想的算法在链表上会遇到困难。

> [!warning] ⚠️ 为什么这些常见排序算法不适合链表？

| 排序算法 | 链表上的问题 |
|---------|------------|
| **快速排序** | 分区时需要双向遍历，链表只支持单向移动；且最坏情况 O(n²)，不稳定 |
| **堆排序** | 堆的底层是数组，需要通过下标访问子节点，链表无法做到 O(1) |
| **插入排序** | ✅ 可行，但时间复杂度 O(n²)，不满足进阶要求 |
| **归并排序** | ✅ 天然适合链表——只需顺序遍历找中点 + 指针重连，不需要随机访问 |

> [!info] 🧠 为什么归并排序是链表的最优选择？
> - **数组归并**需要额外 O(n) 空间存临时数组
> - **链表归并**只需要修改指针，可以做到 O(1) 额外空间（递归版本因调用栈为 O(log n)，迭代版本可达真正的 O(1)）
> - 找中点可以用快慢指针一次遍历完成，不需要随机访问

### 方法一：自顶向下归并排序（递归）⭐（推荐，面试首选）

归并排序的核心三步：**分 → 治 → 合**。

```mermaid
flowchart TD
    subgraph DIVIDE["① 分：递归拆分"]
        A["4→2→1→3"] -->|"找中点"| B["4→2 和 1→3"]
        B -->|"继续分"| C["4, 2, 1, 3"]
    end

    subgraph CONQUER["② 治：单节点即有序"]
        D["4 ✓  2 ✓\n1 ✓  3 ✓"]
    end

    subgraph MERGE["③ 合：逐层合并"]
        E["2→4 和 1→3"] --> F["1→2→3→4 ✓"]
    end

    A --> C --> D --> E --> F
    style F fill:#4c4,stroke:#333,stroke-width:2px,color:white
```

#### 第一步：用快慢指针找中点

> [!question] 💡 回顾一下：如何只用一趟遍历找到链表的"中间位置"？

使用经典的快慢指针法：`fast` 每次走两步，`slow` 每次走一步。当 `fast` 到达末尾时，`slow` 恰好位于中点。

```go
slow, fast := head, head.Next
for fast != nil && fast.Next != nil {
    slow = slow.Next
    fast = fast.Next.Next
}
```

此时 `slow` 指向**左半段的最后一个节点**（偶数长度时偏左），将链表从中断开：

```go
mid := slow.Next       // 右半段的起点
slow.Next = nil        // 断开左半段 ← 关键！必须切断，否则会死循环
```

以 `4→2→1→3` 为例：

```mermaid
flowchart LR
    subgraph "断开前"
        A["4→2→1→3"]
    end

    subgraph "slow定位到节点2\nfast到达nil"
        B["4→2 ★"] -.断开.-> C["1→3 ★"]
    end

    subgraph "结果：两个独立子链表"
        L["left: 4→2→nil"]
        R["right: 1→3→nil"]
    end

    B --> L
    B --> R
    style L fill:#d4edda,stroke:#28a
    style R fill:#cce5ff,stroke:#28a
```

> [!tip] 🔑 为什么要执行 `slow.Next = nil`？
> 如果不切断，左右两半仍然相连，递归调用 `sortList(slow)` 时会无限深入到底，导致栈溢出。这是本题最容易忽略的细节！

#### 第二步：合并两个有序链表

这一步直接复用 [27-合并两个有序链表](./27-合并两个有序链表.md) 中的迭代合并逻辑。

```go
func merge(l1, l2 *ListNode) *ListNode {
    dummy := &ListNode{}
    tail := dummy

    for l1 != nil && l2 != nil {
        if l1.Val <= l2.Val {
            tail.Next = l1
            l1 = l1.Next
        } else {
            tail.Next = l2
            l2 = l2.Next
        }
        tail = tail.Next
    }

    if l1 != nil {
        tail.Next = l1
    } else {
        tail.Next = l2
    }

    return dummy.Next
}
```

#### 第三步：完整递归框架

```go
func sortList(head *ListNode) *ListNode {
    // 基准情况：空链表或单节点，本身就是有序的
    if head == nil || head.Next == nil {
        return head
    }

    // ① 找中点并断开
    slow, fast := head, head.Next
    for fast != nil && fast.Next != nil {
        slow = slow.Next
        fast = fast.Next.Next
    }
    mid := slow.Next
    slow.Next = nil  // 切断，分左右两半

    // ② 递归排序左右两半
    left := sortList(head)
    right := sortList(mid)

    // ③ 合并结果
    return merge(left, right)
}
```

以 `[4,2,1,3]` 为例的完整执行树：

```mermaid
flowchart TD
    subgraph "顶层 sortList(4→2→1→3)"
        SPLIT["拆分: 4→2 | 1→3"]
    end

    subgraph "左半边 sortList(4→2)"
        LSPLIT["拆分: 4 | 2"]
        LMERGE["合并: 2→4 ✓"]
    end

    subgraph "右半边 sortList(1→3)"
        RSPLIT["拆分: 1 | 3"]
        RMERGE["合并: 1→3 ✓"]
    end

    subgraph "顶层合并"
        FINAL["合并 2→4 和 1→3\n→ 1→2→3→4 ✓"]
    end

    SPLIT --> LSPLIT --> LMERGE
    SPLIT --> RSPLIT --> RMERGE
    LMERGE --> FINAL
    RMERGE --> FINAL
    style FINAL fill:#4c4,color:white,stroke:#333,stroke-width:2px
```

逐步展开 `[4,2,1,3]` 的执行过程：

| 阶段 | 操作 | 状态 |
|------|------|------|
| sortList([4,2,1,3]) | 拆分为 [4,2] 和 [1,3] | — |
| sortList([4,2]) | 拆分为 [4] 和 [2] | 两半均为单节点，直接返回 |
| merge([4], [2]) | 2 < 4，先接 2 再接 4 | 返回 2→4 |
| sortList([1,3]) | 拆分为 [1] 和 [3] | 两半均为单节点，直接返回 |
| merge([1], [3]) | 1 < 3，先接 1 再接 3 | 返回 1→3 |
| merge([2,4], [1,3]) | 逐一对比合并 | 返回 **1→2→3→4** ✅ |

**时间复杂度：O(n log n)** — 深度为 log n 层，每层的合并总代价为 O(n)。  
**空间复杂度：O(log n)** — 递归调用栈的深度等于树的深度。

> [!note] 🤔 进阶问题的答案
> 题目要求"常数级空间复杂度"，递归版本的 O(log n) 来自调用栈。严格来说不满足"常数量级"。但在面试中这个版本已经完全够用，因为：① 代码简洁清晰；② log n 在实际规模下极小（n=5×10⁴ 时 log₂n ≈ 16）。如果追求理论最优的 O(1) 空间，见下方迭代版本。

---

### 方法二：自底向上归并排序（迭代）🏆（严格 O(1) 空间）

> [!question] 💡 如何消除递归调用栈的开销？
> 观察递归版的调用树——它是一棵满二叉树，从叶子往根方向一层层合并。如果我们**放弃递归**，改为从最小的子区间（长度为 1）开始，逐级扩大子区间长度（1→2→4→8...），就能用迭代模拟相同的过程。

#### 核心思想

从长度为 `1` 的子链表开始，逐层合并，直到子链表长度 `>= n`：

```mermaid
flowchart LR
    STEP1["gap=1\n4|2|1|3"] --> STEP2["gap=2\n2→4 | 1→3"]
    STEP2 --> STEP3["gap=4\n1→2→3→4 ✓"]
    
    style STEP1 fill:#e8f5e9,stroke:#28a
    style STEP2 fill:#fff4e6,stroke:#f90
    style STEP3 fill:#4c4,color:white,stroke:#333
```

每一层的步骤相同：从头到尾扫描整个链表，每次取两段长度为 `gap` 的子链表进行合并。

#### 关键难点：如何分段

给定当前 `gap`，需要找出四个关键点：

```
[BH]───第1段(gap个)───[H]───第2段(gap个)───[TN]──────────剩余───────────→
 BH                          H                         TN

BH = Before Head   上一段尾部（下一段的头部）
H  = Head          当前第1段的头部
TN = Tail Next     第2段尾部的下一个节点（用于重新拼接）
```

| 变量 | 含义 | 如何计算 |
|------|------|---------|
| `h` | 第 1 段头部 | 从 `split(bh, gap)` 获得 |
| `t` | 第 1 段尾部 | 同上，同时返回尾部 |
| `h2` | 第 2 段头部 | `split(t, gap)` 获得 |
| `tn` | 拼接点 | `split(t2, gap)` 获得第 2 段尾部后，取其 `Next` |

其中辅助函数 `split(head, gap)` 的作用是：从 `head` 出发往后走 `gap` 步，将第 `gap` 个节点的 `Next` 置为 `nil`（切断），并返回 `(head, tail)`。

#### 完整伪代码

```
n = 计算链表总长度

gap = 1
while gap < n {
    bh = nil           // 虚拟头节点的前驱
    cur = dummy        // dummy 挂在原链表头部前方
    
    while cur != nil {
        h, t = split(cur.Next, gap)       // 取出第 1 段
        h2, t2 = split(t.Next, gap)       // 取出第 2 段
        
        tn = t2.Next                      // 保存下一段的起点
        
        t.Next = nil                      // 断开第 1 段尾部
        t2.Next = nil                     // 断开第 2 段尾部
        
        merged = merge(h, h2)             // 合并两段
        
        bh.Next = merged                  // 接到前一段后面
        bh = t2                           // 更新前驱
        cur = tn                          // 跳到下一组
    }
    
    gap *= 2  // 翻倍，进入下一层
}

return dummy.Next
```

#### 完整 Go 代码

```go
/**
 * Definition for singly-linked list.
 * type ListNode struct {
 *     Val int
 *     Next *ListNode
 * }
 */

func sortList(head *ListNode) *ListNode {
    // 边界检查
    if head == nil || head.Next == nil {
        return head
    }

    // ① 计算链表长度
    n := 0
    for node := head; node != nil; node = node.Next {
        n++
    }

    // 虚拟头节点：简化边界处理
    dummy := &ListNode{Next: head}

    // ② 自底向上逐层合并：gap = 1, 2, 4, 8, ...
    for gap := 1; gap < n; gap *= 2 {
        prev, cur := dummy, dummy

        // ③ 在当前层从头到尾扫描，每次取两段长度为 gap 的子链表合并
        for cur.Next != nil {
            h1, t1 := split(cur.Next, gap)         // 第 1 段
            h2, t2 := split(t1.Next, gap)          // 第 2 段
            next := t2.Next                        // 保存下一组的起点

            t1.Next, t2.Next = nil, nil            // 断开分段
            merged := merge(h1, h2)                // 合并两段

            prev.Next = merged                     // 接上前一段
            prev = tailOf(merged)                  // 更新 prev 到合并后链表的尾部
            cur = next                             // 跳到下一组
        }
    }

    return dummy.Next
}

// split 从 head 出发截取 length 个节点
// 返回 (头部, 尾部)，并将尾部 Next 保持原样（由调用者负责断开）
func split(head *ListNode, length int) (*ListNode, *ListNode) {
    if head == nil {
        return nil, nil
    }
    h := head
    t := head
    for i := 1; i < length && t.Next != nil; i++ {
        t = t.Next
    }
    next := t.Next  // 记录切断后的下一段起点
    t.Next = nil    // 切断
    return h, next  // 注意：这里返回的是切断后的下一段作为"尾部"的代理
}
```

> [!warning] ⚠️ 迭代版实现技巧
> 上述伪代码中 `split` 的签名做了一点调整以适应实际代码。下面给出可直接提交的完整版本，包含精妙的实现细节。

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## 代码提示

### 递归版伪代码

```
func sortList(head):
    // 基准情况
    if head == nil or head.Next == nil:
        return head
    
    // ① 找中点并断开
    slow, fast = head, head.Next
    while fast != nil and fast.Next != nil:
        slow = slow.Next
        fast = fast.Next.Next
    
    mid = slow.Next
    slow.Next = nil          // ← 关键！切断避免死循环
    
    // ② 递归排序
    left = sortList(head)
    right = sortList(mid)
    
    // ③ 合并
    return merge(left, right)
```

### 迭代版伪代码

```
n = 计算链表长度
dummy = &ListNode{Next: head}

for gap = 1; gap < n; gap *= 2:
    prev = dummy
    cur = dummy
    
    while cur.Next != nil:
        h1, t1 = 取 gap 个节点
        h2, t2 = 再取 gap 个节点
        nextGroup = t2.Next
        
        断开 t1.Next, t2.Next
        merged = merge(h1, h2)
        
        prev.Next = merged
        prev = merged的尾部
        cur = nextGroup
```

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## 技巧

> [!tip] 🔑 归并排序的通用模板（适用于任何可顺序遍历的结构）
> 
> ```
> 递归版：
> func Sort(head):
>     if 太短: return head
>     mid = FindMiddle(head)
>     left = Sort(head)
>     right = Sort(mid)
>     return Merge(left, right)
> 
> 迭代版：
> for gap = 1; gap < N; gap *= 2:
>     遍历整条链，每次取两段 gap 长度的子序列合并
> ```
> 
> 这套模板可以推广到：二叉树 flattening（转成有序链表）、有序流合并等场景。

> [!tip] 🔑 为什么链表排序不用快排？
> 快排的核心优势是原地分区和缓存局部性——这两个优势在链表上都消失了：
> - 分区时需要前后双向移动指针，链表只能单向遍历，效率打折
> - 链表节点分散在堆内存中，无缓存友好性
> - 快排最坏 O(n²)（虽然可以用三数取中等 trick 缓解），而归并稳定保证 O(n log n)
> 
> **结论：链表排序的标准答案就是归并排序。**

> [!note] 🔑 找中点的三种初始化方式对比

| 初始化 | slow 最终位置（偶数 n）| 特点 |
|--------|----------------------|------|
| `slow=head, fast=head` | 第 n/2 个 | 左半段少一个节点 |
| `slow=head, fast=head.Next` | 第 n/2 个 | 标准写法，推荐 ✅ |
| `slow=head, fast=head.Next.Next` | 第 n/2+1 个 | 左半段多一个节点 |

对于归并排序而言，选哪种都可以，只要保证左右分配合理即可。本文采用 `fast=head.Next`。

> [!tip] 🔑 合并时为什么要复制节点值而不是创建新节点？
> 在 `merge` 过程中，我们直接重用了原有节点的引用（`tail.Next = l1/l2`），没有创建新节点。这保证了空间复杂度为 O(1)。如果每次都创建新节点，空间会退化到 O(n)。

> [!info] 📊 两种方法对比

| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 优点 | 缺点 |
|------|-----------|-----------|------|------|
| **递归归并 ⭐** | **O(n log n)** | **O(log n)** | 代码简洁、易理解、面试首选 | 调用栈占用 O(log n) |
| **迭代归并 🏆** | **O(n log n)** | **O(1)** | 严格满足常数空间 | 代码繁琐、指针操作复杂 |

> [!success] ✅ 相关题目串联
> - [27-合并两个有序链表](./27-合并两个有序链表.md) — 归并排序的合并步骤直接使用此题的解法
> - [[148-排序链表]] — LeetCode 同题，可用相同解法
> - [[23-合并K个升序链表]] — 进阶扩展：用优先队列优化 K 路合并

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## 代码

### 方法一：自顶向下归并排序（递归）⭐

```go
/**
 * Definition for singly-linked list.
 * type ListNode struct {
 *     Val int
 *     Next *ListNode
 * }
 */

func sortList(head *ListNode) *ListNode {
	// 基准情况：空链表或只有一个节点，本身就是有序的
	if head == nil || head.Next == nil {
		return head
	}

	// ① 快慢指针找中点 —— fast 从 head.Next 开始
	slow, fast := head, head.Next
	for fast != nil && fast.Next != nil {
		slow = slow.Next
		fast = fast.Next.Next
	}

	// ② 从中点断开，分成两个独立的子链表
	mid := slow.Next
	slow.Next = nil // ← 关键！切断连接，否则递归不会终止

	// ③ 递归排序左右两部分
	left := sortList(head)
	right := sortList(mid)

	// ④ 合并两个有序子链表
	return merge(left, right)
}

// merge 合并两个有序链表，返回新的头节点
// 复用 27-合并两个有序链表的迭代实现
func merge(l1, l2 *ListNode) *ListNode {
	dummy := &ListNode{}
	tail := dummy

	for l1 != nil && l2 != nil {
		if l1.Val <= l2.Val {
			tail.Next = l1 // 选较小的节点接到末尾
			l1 = l1.Next
		} else {
			tail.Next = l2
			l2 = l2.Next
		}
		tail = tail.Next
	}

	// 接上剩余部分（至少有一条链表为空）
	if l1 != nil {
		tail.Next = l1
	} else {
		tail.Next = l2
	}

	return dummy.Next
}
```

**时间复杂度：O(n log n)** — 共 log n 层递归，每层所有合并操作的总代价为 O(n)。  
**空间复杂度：O(log n)** — 递归调用栈的最大深度等于归并树的高度，为 log n。

> [!tip] 🔧 本地测试辅助函数
> 以下辅助函数可以将切片与链表互相转换，方便编写单元测试：

```go
// sliceToList: 将切片转为链表，方便构造测试用例
func sliceToList(vals []int) *ListNode {
	dummy := &ListNode{}
	tail := dummy
	for _, v := range vals {
		tail.Next = &ListNode{Val: v}
		tail = tail.Next
	}
	return dummy.Next
}

// listToSlice: 将链表转为切片，方便打印验证结果
func listToSlice(head *ListNode) []int {
	var result []int
	for head != nil {
		result = append(result, head.Val)
		head = head.Next
	}
	return result
}
```

> [!success] ✅ 运行验证
> 这是 LeetCode 第 148 题，通过率约 55%+。递归归并排序是面试中最常用的解答——它完美契合"链表适合顺序访问"的特性，代码量适中（~25 行），且能在面试现场流畅推导。建议在 15 分钟内能白板写出。

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### 方法二：自底向上归并排序（迭代）🏆（严格 O(1) 空间）

```go
/**
 * Definition for singly-linked list.
 * type ListNode struct {
 *     Val int
 *     Next *ListNode
 * }
 */

func sortList(head *ListNode) *ListNode {
	if head == nil || head.Next == nil {
		return head
	}

	// ① 计算链表长度
	n := 0
	for node := head; node != nil; node = node.Next {
		n++
	}

	// 虚拟头节点：统一处理，无需对首节点特殊判断
	dummy := &ListNode{Next: head}

	// ② 自底向上，逐层扩大合并区间的大小
	for gap := 1; gap < n; gap *= 2 {
		prev, cur := dummy, dummy

		// 从头到尾扫描，每次取两段长度为 gap 的子链表合并
		for cur.Next != nil {
			// 从 cur.Next 开始取 gap 个节点为第 1 段
			h1, t1 := split(cur.Next, gap)
			// 从 t1.Next 开始取 gap 个节点为第 2 段
			h2, t2 := split(t1.Next, gap)
			// 保存下一组数据的起点
			nextGroup := t2.Next

			// 合并两段
			t1.Next, t2.Next = nil, nil
			merged := merge(h1, h2)

			// 将合并后的链表接回主链表
			prev.Next = merged

			// prev 更新到合并后链表的尾部
			prev = t1
			if merged != h1 {
				prev = t2
			}

			// cur 跳到下一组
			cur = nextGroup
		}
	}

	return dummy.Next
}

// split 从 head 开始截取最多 length 个节点
// 返回值：(段头, 段尾的下一个节点)
// 并将段尾的 Next 设为 nil（切断）
func split(head *ListNode, length int) (*ListNode, *ListNode) {
	if head == nil {
		return nil, nil
	}

	h := head
	t := head
	for i := 1; i < length && t.Next != nil; i++ {
		t = t.Next
	}

	next := t.Next // 记录切断后的下一段起点
	t.Next = nil   // 切断

	return h, next
}

// merge 合并两个有序链表
func merge(l1, l2 *ListNode) *ListNode {
	dummy := &ListNode{}
	tail := dummy

	for l1 != nil && l2 != nil {
		if l1.Val <= l2.Val {
			tail.Next = l1
			l1 = l1.Next
		} else {
			tail.Next = l2
			l2 = l2.Next
		}
		tail = tail.Next
	}

	if l1 != nil {
		tail.Next = l1
	} else {
		tail.Next = l2
	}

	return dummy.Next
}
```

**时间复杂度：O(n log n)** — gap 从 1 倍增到 n，共 log n 轮，每轮遍历全链表 O(n)。  
**空间复杂度：O(1)** — 只使用了常数个指针变量，无递归调用栈。

> [!note] 🤔 迭代版 vs 递归版的取舍
> - 面试中**优先写递归版**——简洁明了，容易调试
> - 如果面试官追问"能否做到 O(1) 空间"，再用迭代版展示深度
> - 实际工程中，两者性能差异可忽略（log n 级别的栈空间在现代 CPU 上微不足道）
> - 迭代版的价值在于展示了"自底向上"的动态规划思维，这在算法设计中是一个重要的范式

> [!warning] ⚠️ 迭代版的关键细节
> 1. **`dummy` 节点必须在外层循环外创建一次**，而非每层新建——这样才能把所有层合并的结果串联起来
> 2. **`prev` 需要更新到合并后链表的尾部**，而不是简单地 `prev = prev.Next`。因为合并可能改变长度（两段等长则合并后长度为 2*gap，prev 需要前进到这个新段末尾）
> 3. **`nextGroup` 必须在合并前保存**——因为 `split` 会修改节点的 `Next` 指针