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tags: [技巧, 位运算, 异或, 数组]
create time: 2026-05-16 14:30
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# 96-只出现一次的数字

## 题面

给你一个**非空**整数数组 `nums` ，除了某个元素**只出现一次**以外，其余每个元素均出现**两次**。找出那个只出现了一次的元素。

**要求：**
- 线性时间复杂度 $O(n)$
- 常量额外空间 $O(1)$

**示例 1：**

> 输入：`nums = [2, 2, 1]` → 输出：`1`

**示例 2：**

> 输入：`nums = [4, 1, 2, 1, 2]` → 输出：`4`

**示例 3：**

> 输入：`nums = [1]` → 输出：`1`

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## 思路

### 先思考一个问题 🤔

如果不用任何算法，你会怎么找到那个唯一的数字？

> [!tip] 直觉方案
> 遍历数组，对每个数字统计出现次数，然后找出出现一次的——但这需要哈希表或排序，不满足 $O(1)$ 空间的要求。

### 核心洞察：异或运算的性质 💡

回忆一下**异或（XOR）**的三条基本性质：

| 性质 | 表达式 | 含义 |
|------|--------|------|
| **归零律** | `a ^ a = 0` | 相同数字异或为 0 |
| **恒等律** | `a ^ 0 = a` | 任何数与 0 异或等于自身 |
| **交换律 & 结合律** | `a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ c) ^ b` | 异或的顺序不影响结果 |

> [!question] 启发式提问
> 如果一个数组中除了一个数字外，其余都恰好出现两次，把这些数字全部异或起来会发生什么？

根据归零律，每对相同的数字异或后变为 `0`；再根据恒等律，所有的 `0` 异或起来还是 `0`；最后剩下的就是那个只出现一次的数字！

### 流程演示

以 `nums = [4, 1, 2, 1, 2]` 为例：

```mermaid
flowchart LR
    A["开始: result = 0"] --> B["result ^= 4 → 4"]
    B --> C["result ^= 1 → 5"]
    C --> D["result ^= 2 → 7"]
    D --> E["result ^= 1 → 6"]
    E --> F["result ^= 2 → 4"]
    F --> G["result = 4 ✅"]

    style A fill:#e1f5fe
    style G fill:#c8e6c9
```

**更直观的理解**（利用交换律和结合律重新排列）：

$$4 \oplus 1 \oplus 2 \oplus 1 \oplus 2 = 4 \oplus (1 \oplus 1) \oplus (2 \oplus 2) = 4 \oplus 0 \oplus 0 = 4$$

> [!info] 关键结论
> 不需要关心顺序——异或的**交换律**保证了无论成对的数字在数组中的位置如何，它们最终一定会被配对抵消。

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## 代码提示

### 伪代码

```
初始化 result = 0
遍历数组中的每个数字 num:
    result = result XOR num
返回 result
```

### 复杂度分析

| 指标 | 结果 | 说明 |
|------|------|------|
| **时间复杂度** | $O(n)$ | 只需遍历数组一次 |
| **空间复杂度** | $O(1)$ | 只使用了一个变量 `result` |

完美满足题目要求！

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## 技巧

### 1. 异或找唯一元素的通用模式

> [!summary] 模板记忆法
> ```go
> ans := 0
> for _, v := range nums {
>     ans ^= v
> }
> return ans
> ```
> 看到「除一个元素出现一次/奇数次外，其余出现偶数次」→ 优先考虑异或。

### 2. 异或的小应用清单

这些面试高频技巧都源于异或的相同两条性质：

| 应用场景 | 方法 | 核心原理 |
|----------|------|---------|
| 找唯一元素 | 全数组异或 | `a ^ a = 0`, `a ^ 0 = a` |
| 判断两个数是否相等 | `a ^ b == 0` | 相等则结果为 0 |
| 交换两个变量（经典面试题） | `a ^= b; b ^= a; a ^= b` | 三步异或完成交换，无需临时变量 |
| 翻转指定位 | `num ^= mask` | mask 中为 1 的位被翻转 |

### 3. 变体题延伸 🚀

| 题目 | 变化点 | 思路升级 |
|------|--------|---------|
| **136. Single Number**（本题） | 其余出现两次 | 直接全异或 ✅ |
| **137. Single Number II** | 其余出现三次 | 按位统计每个位上 1 的出现次数，%3 剩余的拼接 |
| **260. Single Number III** | 有两个只出现一次的数 | 先全异或得到 `x ^ y`，找最低位的 1 分组，再分别异或 |

> [!note] 思考方向
> 当「其余元素出现 k 次」时，本质上是把逐位计数的模运算从 %2 推广到 %k。异或是最自然的 %2 计数器。

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## 代码

```go
// SingleNumber finds the element that appears exactly once
// while all other elements appear exactly twice.
func singleNumber(nums []int) int {
    // result 初始化为 0（异或的单位元）
    // 根据恒等律：a ^ 0 = a
    result := 0

    // 遍历所有数字，依次异或
    // 根据归零律：a ^ a = 0，成对的数字会相互抵消
    // 根据交换律：无论顺序如何，结果不变
    for _, num := range nums {
        result ^= num
    }

    // 此时 result 就是那个只出现一次的数字
    return result
}
```

### Go 运行细节

> [!example] Go 中异或运算符
> Go 语言使用 `^` 作为按位异或运算符：
> - `5 ^ 3 = 0b0101 ^ 0b0011 = 0b0110 = 6`
> - 注意区分逻辑异或 `!=` —— 这里用的是**按位**异或