--- tags: ["LeetCode", "回溯", "数组", "位运算", "中等"] create time: 2026-05-17 10:30 --- # 56-子集 ## 题面 > **LeetCode 78. Subsets** 给你一个整数数组 `nums`，数组中的元素 **互不相同**。返回该数组所有可能的子集（幂集）。 解集 **不能** 包含重复的子集。你可以按 **任意顺序** 返回解集。 **示例 1：** ``` 输入：nums = [1,2,3] 输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]] ``` **示例 2：** ``` 输入：nums = [0] 输出：[[],[0]] ``` **提示：** - `1 <= nums.length <= 10` - `-10 <= nums[i] <= 10` - `nums` 中的所有元素 **互不相同** --- ## 思路 > [!question] 💡 思考 假设 `nums = [1, 2, 3]`，手动枚举所有子集——你会怎么列才不会漏、不会重？ 一个直观的做法是：对每个元素，问一个问题——**「选它，还是不选它？」** ``` 1 选 or 不选？ → 2 选 or 不选？ → 3 选 or 不选？ ``` 每个元素恰好两个抉择，所以一共 `2 × 2 × 2 = 2³ = 8` 种组合，正好对应幂集大小 `2^n`。 > [!abstract] 🎯 核心洞察 全排列的决策树是 **n 叉树**（每层有 n, n-1, ..., 1 个选择），而子集的决策树是一棵 **完美二叉树**： | 决策点 | 选项 | 分支数 | |--------|------|--------| | 第 i 个元素 | 加入子集 / 不加入子集 | **2** | 这棵树有 `n` 层，叶子节点共 `2^n` 个——**但注意：每个节点都代表一个有效子集**，不只是叶子！这是子集问题与排列/组合问题的最大区别。 ### 回溯框架三要素 子集回溯与全排列的关键差异在 **「何时记录答案」**： ``` 全排列 / 组合：只有走到叶子（或指定深度）才记录 子 集 ：每个节点都是答案，边递归边记录 ``` 维护一个 `path` 记录当前子集，用 `start` 参数控制每层的遍历起点——从 `start` 往后选，不允许回头，天然避免重复子集。 ### 回溯决策树（以 `nums = [1, 2, 3]` 为例） ```mermaid flowchart TD root["[] ✅"] --> NO1["不选 1"] root --> YES1["选 1 → [1] ✅"] NO1 --> NO2["不选 2"] NO1 --> YES2["选 2 → [2] ✅"] YES1 --> NO3["不选 2 → [1] ✅"] YES1 --> YES3["选 2 → [1,2] ✅"] NO2 --> NO33["不选 3 → [] ✅"] NO2 --> YES33["选 3 → [3] ✅"] YES2 --> NO4["不选 3 → [2] ✅"] YES2 --> YES4["选 3 → [2,3] ✅"] NO3 --> NO5["不选 3 → [1] ✅"] NO3 --> YES5["选 3 → [1,3] ✅"] YES3 --> NO6["不选 3 → [1,2] ✅"] YES3 --> YES6["选 3 → [1,2,3] ✅"] classDef leaf fill:#FFD700,stroke:#DAA520,color:#000; class NO33,YES33,NO4,YES4,NO5,YES5,NO6,YES6 leaf; ``` **关键观察：** - 共 `2^(n+1) - 1` 个节点（n 层满二叉树的总结点数），每到一个节点就将 `path` 拷贝入结果 - 用 `start` 保证不回头：右子树永远不选当前及之前的元素 --- ## 方法一：回溯（标准模板）⭐ 推荐 > [!tip] 🔑 写法要点 ```go var result [][]int var dfs func(start int) dfs = func(start int) { // ⚠️ 每个节点都收集答案（区别于排列只在叶子记录） result = append(result, append([]int(nil), path...)) for i := start; i < len(nums); i++ { path = append(path, nums[i]) // 做选择 dfs(i + 1) // 递归：下一个位置从 i+1 开始 path = path[:len(path)-1] // 撤销选择 } } dfs(0) ``` **为什么从 `i+1` 开始而不是像全排列那样从头遍历？** - 子集不允许回头 → `[1, 2]` 和 `[2, 1]` 算同一个子集 - 固定顺序（从前向后选）即可天然去重，无需 `used[]` 数组 - 这等价于从 `n` 个元素中选出 `k` 个的组合思想 - **时间复杂度**：O(n × 2^n) —— 2^n 个子集，每个拷贝 O(n) - **空间复杂度**：O(n) —— 递归栈深度 --- ## 方法二：迭代（逐元素扩展法） > [!tip] 🔑 核心思想 从空集出发，每遇到一个新元素，把**已有的所有子集各自加上该元素**作为新子集追加到结果中。 ``` 初始: [[]] 遇到 1: [[] , [1]] ← 已有子集 + 每个加 1 遇到 2: [[] , [1], [2], [1,2]] ← 上一步全部 + 每个加 2 遇到 3: ... ← 同上规律 ``` 每次迭代子集数量翻倍：`1 → 2 → 4 → 8 → ... → 2^n`。 **时间复杂度**：O(n × 2^n) **空间复杂度**：O(1) 额外（不计返回值） --- ## 方法三：位运算（枚举掩码） > [!note] 🔑 核心思想 `n` 个元素的幂集大小为 `2^n`，可以用 `0` 到 `2^n - 1` 的二进制数编码： - 第 `j` 位为 `1` → 包含 `nums[j]` - 第 `j` 位为 `0` → 不包含 `nums[j]` ``` nums = [1, 2, 3] 000 → [] 001 → [1] 010 → [2] 011 → [1,2] 100 → [3] 101 → [1,3] 110 → [2,3] 111 → [1,2,3] ``` **优点**：代码极简，仅两层 for 循环 **缺点**：无法提前终止（回溯可以通过剪枝跳过无效分支），面试时通常作为加分项展示多样性。 **时间复杂度**：O(n × 2^n) **空间复杂度**：O(n) --- ## 代码提示 > [!abstract] 📝 回溯通用骨架（子集版） ```go var result [][]int var path []int var dfs func(start int) dfs = func(start int) { // ① Base case 隐式处理——每到一个节点就记录 result = append(result, append([]int(nil), path...)) // ② 从 start 往后枚举，不允许回头 for i := start; i < len(nums); i++ { path = append(path, nums[i]) // 做选择 dfs(i + 1) // 递归 path = path[:len(path)-1] // 撤销选择 } } dfs(0) return result ``` > [!summary] 📋 子集 vs 排列 vs 组合 | 问题 | 决策树 | 何时记录 | 遍历方式 | 去重手段 | |------|--------|---------|---------|---------| | **子集** (LC 78) | 二叉树 | 每个节点 | `for i := start` | `start` 防回头 | | **全排列** (LC 46) | n 叉树 | 叶子节点 | `for i := range` + `used[]` | `used[]` 标记 | | **组合** (LC 77) | 二叉树 | 指定深度 | `for i := start` | `start` 防回头 | **共同口诀**： ``` 做选择 → 递归探索 → 撤销选择 ``` 子集的特殊之处： > 排列和组合只收集「完整方案」；子集收集「每一个中间状态」。 --- ## 代码 > [!success] ✅ 方法一：回溯（⭐ 推荐） ```go // subsets 返回 nums 的所有子集（幂集）。 // // 时间复杂度：O(n * 2^n) — 共 2^n 个子集，每个拷贝 O(n) // 空间复杂度：O(n) — 递归栈深度为 n func subsets(nums []int) [][]int { var result [][]int path := make([]int, 0, len(nums)) var dfs func(start int) dfs = func(start int) { // 每个节点都是答案，直接记录 result = append(result, append([]int(nil), path...)) for i := start; i < len(nums); i++ { path = append(path, nums[i]) // 做选择 dfs(i + 1) // 递归：下一层从 i+1 开始 path = path[:len(path)-1] // 撤销选择 } } dfs(0) return result } ``` > [!success] ✅ 方法二：迭代（逐元素扩展） ```go // subsetsIterative 使用迭代法求所有子集。 // // 时间复杂度：O(n * 2^n) // 空间复杂度：O(1) 额外（不计返回值） func subsetsIterative(nums []int) [][]int { result := [][]int{{}} for _, num := range nums { n := len(result) for i := 0; i < n; i++ { newSubset := append(result[i], num) result = append(result, append([]int(nil), newSubset...)) } } return result } ``` > [!success] ✅ 方法三：位运算 ```go // subsetsBitManipulation 通过位枚举求所有子集。 // // 时间复杂度：O(n * 2^n) // 空间复杂度：O(n) func subsetsBitManipulation(nums []int) [][]int { n := len(nums) result := make([][]int, 0, 1< [!success] ✅ 单元测试 ```go import ( "slices" "testing" ) func TestSubsets(t *testing.T) { tests := []struct { name string input []int expect [][]int }{ {name: "示例1", input: []int{1, 2, 3}, expect: [][]int{{},{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}}, {name: "单元素", input: []int{0}, expect: [][]int{{},{0}}}, } for _, tt := range tests { t.Run(tt.name, func(t *testing.T) { got := subsets(append([]int{}, tt.input...)) slices.SortFunc(got, func(a, b []int) int { if len(a) != len(b) { return len(a) - len(b) } return slices.Compare(a, b) }) slices.SortFunc(tt.expect, func(a, b []int) int { if len(a) != len(b) { return len(a) - len(b) } return slices.Compare(a, b) }) if !slices.Equal(got, tt.expect) { t.Errorf("subsets(%v) = %v; want %v", tt.input, got, tt.expect) } }) } } ``` --- ## 技巧 > [!danger] ⚠️ Go 切片陷阱：存引用还是存值？ 与全排列一样，`path` 指向同一底层数组。如果不创建独立副本直接存入 `result`，后续回溯修改会污染已记录的结果。 ```go // ❌ 危险：存的是引用，后续 path 变化会影响所有已记录的子集 result = append(result, path) // ✅ 正确：创建独立副本 result = append(result, append([]int(nil), path...)) ``` > [!tip] 🔑 何时用位运算？ 当 `n ≤ 20` 且需要简洁实现时，位运算是最短的代码路径。但在面试中建议优先写回溯——它展现了你对算法范式的理解，且更容易扩展到变体问题（如含重复元素的情况）。 > [!quote] 💬 延伸思考 幂集的大小是指数级 `2^n`。这意味着： 1. **任何子集算法都不可能低于 O(2^n)** —— 你必须至少列出所有子集 2. `n > 20` 时暴力枚举就会超时，必须借助数学性质（如排序后的贪心、前缀和优化等） 3. 这也解释了为什么 LeetCode 将本题约束为 `n ≤ 10` —— 留出了大量练习空间 --- ## 总结 > [!summary] 📋 本章要点回顾 > 子集问题是回溯的入门基石： > > 1. **模型最简**——二叉决策树，每步只需回答「选 or 不选」 > 2. **记录时机特殊**——每个节点都是合法子集，而非仅叶子 > 3. **三种实现等价**——回溯、迭代扩展、位枚举，各有适用场景 > 4. **可迁移到大量变体**：含重复元素 [[回溯/57-子集 II]]、分割回文串、电话号码组合 > > **口诀**：一进一出两改两回，选了加，回去退，每个节点都要收。 --- > [!example] 🔀 关联变体题 - **[[回溯/55-全排列]]** — 回溯入门第一题，n 叉树 vs 二叉树 - **LeetCode 90. Subsets II** — 含重复元素的子集（需排序 + 同层去重） - **LeetCode 77. Combinations** — 从 n 中选 k 个（固定深度的子集） - **LeetCode 216. Combination Sum III** — 组合之和 III（加和条件过滤） - **LeetCode 40. Combination Sum II** — 组合总和 II（含重复元素 + 目标和） - **[[回溯/57-电话号码的字母组合]]** — 笛卡尔积型回溯，每层候选集不同