vault backup: 2026-05-17 17:24:03
This commit is contained in:
+346
@@ -0,0 +1,346 @@
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tags: ["LeetCode", "回溯", "数组", "中等"]
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create time: 2026-05-17 10:00
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# 55-全排列
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## 题面
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> **LeetCode 46. Permutations**
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给定一个不含重复数字的数组 `nums`，返回其 **所有可能的全排列**。你可以 **按任意顺序** 返回答案。
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**示例 1：**
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```
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输入：nums = [1,2,3]
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输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
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```
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**示例 2：**
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```
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输入：nums = [0,1]
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输出：[[0,1],[1,0]]
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```
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**示例 3：**
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```
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输入：nums = [1]
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输出：[[1]]
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```
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**提示：**
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- `1 <= nums.length <= 6`
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- `-10 <= nums[i] <= 10`
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- `nums` 中的所有整数 **互不相同**
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## 思路
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> [!question] 💡 思考
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手动列出 `[1, 2, 3]` 的所有排列——你会怎么列？
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大概率是：先选 1 开头（剩两个位置自由排列），再选 2 开头……每一步从剩余元素中选一个填到当前位置，然后递归处理下一个位置。
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这正是回溯算法的经典场景：**枚举一棵决策树的所有完整路径**。
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> [!abstract] 🎯 核心洞察
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全排列的本质是"从 n 个元素中选 n 个放入序列"，分解为 `n` 层决策：
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| 决策层 | 任务 | 可选元素 |
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|--------|------|---------|
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| 第 1 层 | 选第 1 个位置的数 | 全部 n 个 |
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| 第 2 层 | 选第 2 个位置的数 | 除去已选的 |
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| ... | ... | ... |
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| 第 n 层 | 选最后一个 | 仅剩 1 个 |
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每层选择数递减：`n × (n-1) × ... × 1 = n!`，所以时间复杂度必然是 O(n!)。
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### 回溯框架三要素
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任何回溯问题都可以归纳为三个操作：
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```
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选择 → 递归 → 撤销选择（回溯）
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```
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- **选择**：做出当前决策，进入下一层。
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- **递归**：在已选基础上继续探索。
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- **撤销**：回退上一步，尝试其他分支。
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维护一个 `path` 记录当前路径，用一个 `used[]` 布尔数组标记哪些元素已被选中——遍历时跳过已用的即可。
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### 回溯决策树（以 `nums = [1, 2, 3]` 为例）
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```mermaid
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flowchart TD
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root["空 []"] --> L1a["选 1\n[1]"]
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root --> L1b["选 2\n[2]"]
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root --> L1c["选 3\n[3]"]
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L1a --> L2a["选 2\n[1,2]"]
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L1a --> L2b["选 3\n[1,3]"]
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L1b --> L2c["选 1\n[2,1]"]
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||||
L1b --> L2d["选 3\n[2,3]"]
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||||
L1c --> L2e["选 1\n[3,1]"]
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||||
L1c --> L2f["选 2\n[3,2]"]
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L2a --> Leaf1["[1,2,3] ✅"]
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L2b --> Leaf2["[1,3,2] ✅"]
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||||
L2c --> Leaf3["[2,1,3] ✅"]
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||||
L2d --> Leaf4["[2,3,1] ✅"]
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||||
L2e --> Leaf5["[3,1,2] ✅"]
|
||||
L2f --> Leaf6["[3,2,1] ✅"]
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||||
classDef leaf fill:#90EE90,stroke:#228B22,color:#000;
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||||
class Leaf1,Leaf2,Leaf3,Leaf4,Leaf5,Leaf6 leaf;
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```
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||||
### 两种实现方式
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> [!tip] 🔑 方法一：`used` 数组（⭐ 推荐）
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每层从头遍历所有元素，通过 `used[]` 跳过已选。这是最标准的回溯模板，清晰易懂。
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> [!note] 🔑 方法二：原地交换（进阶）
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交换 `nums[i]` 和 `nums[start]` 等价于"选 nums[i] 放在 start 位置"，递归后恢复交换即撤销。省去了 `used[]` 和 `path[]`，空间更紧凑，但去重时不如方法一方便。**面试中作为加分项**。
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**何时用哪种？**
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| 场景 | 推荐 |
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|------|------|
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| 首次学习 / 面试快速写对 | **方法一**（used 数组） |
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| 面试官追问 O(1) 额外空间 | **方法二**（原地交换） |
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| 含重复元素的排列（LC 47） | **方法一** + 排序去重 |
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||||
- **时间复杂度**：O(n × n!) — 共 n! 条完整路径，每条拷贝需 O(n)
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||||
- **空间复杂度**：O(n) — 递归栈深度
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## 代码提示
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> [!abstract] 📝 回溯通用骨架
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```go
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var result [][]int
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||||
var dfs func(path []int)
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||||
dfs = func(path []int) {
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||||
// Base Case: 路径已满
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||||
if len(path) == len(nums) {
|
||||
result = append(result, append([]int(nil), path...)) // ⚠️ 必须拷贝
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||||
return
|
||||
}
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||||
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||||
for i := 0; i < len(nums); i++ {
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||||
if used[i] {
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continue // 剪枝：跳过已选元素
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||||
}
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||||
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// 做选择
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||||
path = append(path, nums[i])
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||||
used[i] = true
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||||
// 递归
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||||
dfs(path)
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||||
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||||
// 撤销选择
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||||
used[i] = false
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||||
path = path[:len(path)-1]
|
||||
}
|
||||
}
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||||
|
||||
dfs(nil)
|
||||
return result
|
||||
```
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---
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## 技巧
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> [!tip] 🔑 核心模式
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全排列是回溯最经典的入门题，掌握后可迁移到大量同类问题：
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| 问题类型 | 决策方式 | 代表题目 |
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|---------|---------|---------|
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| **全排列** | 每层从**全部未用元素**中选 | LC 46（本题） |
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||||
| **组合** | 每层从**当前及之后**选（不回头） | LC 77 组合 |
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||||
| **子集** | 每个元素**选或不选** | [[回溯/56-子集]] |
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> [!step] ⭐ 四步回溯法
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```mermaid
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flowchart LR
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S1["① 定义签名<br/>需要什么参数？"] --> S2["② Base case<br/>何时停止？"]
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||||
S2 --> S3["③ for 循环<br/>有哪些选择？"]
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||||
S3 --> S4["④ 递归+回溯<br/>选什么？撤什么？"]
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||||
S4 --> DONE["✅"]
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```
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||||
> [!danger] ⚠️ 两个常见陷阱
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||||
**① Go 切片不拷贝直接存结果**：`path` 指向同一底层数组，不拷贝的话所有结果会被后续回溯覆盖成同一个值。
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||||
```go
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||||
// ❌ 错误
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||||
result = append(result, path)
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||||
// ✅ 正确：创建独立副本
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||||
tmp := make([]int, len(path))
|
||||
copy(tmp, path)
|
||||
result = append(result, tmp)
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||||
|
||||
// ✅ 或者一行搞定
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||||
result = append(result, append([]int(nil), path...))
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||||
```
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||||
**② 混淆 `for i := range nums` 和 `for i := start; i < len(nums)`**：
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||||
- `range nums`（从头遍历 + `used[]`）→ 全排列，允许跳到任意未用元素
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||||
- `range start`（从当前位置往后）→ 组合/子集，不允许回头以避免重复
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---
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## 代码
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> [!success] ✅ 方法一：`used` 数组标记（推荐）
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```go
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// permute 返回 nums 的所有全排列（使用 used 数组标记法）。
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//
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||||
// 时间复杂度：O(n * n!) — 共 n! 条完整路径，每条 O(n) 拷贝
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||||
// 空间复杂度：O(n) — 递归栈深度为 n
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||||
func permute(nums []int) [][]int {
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||||
var result [][]int
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||||
path := make([]int, 0, len(nums))
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||||
used := make([]bool, len(nums))
|
||||
|
||||
var dfs func()
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||||
dfs = func() {
|
||||
if len(path) == len(nums) {
|
||||
tmp := make([]int, len(nums))
|
||||
copy(tmp, path)
|
||||
result = append(result, tmp)
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
|
||||
for i := 0; i < len(nums); i++ {
|
||||
if used[i] {
|
||||
continue
|
||||
}
|
||||
|
||||
path = append(path, nums[i])
|
||||
used[i] = true
|
||||
|
||||
dfs()
|
||||
|
||||
used[i] = false
|
||||
path = path[:len(path)-1]
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
dfs()
|
||||
return result
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
> [!success] ✅ 方法二：原地交换
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||||
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||||
```go
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||||
// permuteSwap 使用原地交换实现全排列。
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||||
//
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||||
// 时间复杂度：O(n * n!)
|
||||
// 空间复杂度：O(n) — 仅递归栈开销
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||||
func permuteSwap(nums []int) [][]int {
|
||||
var result [][]int
|
||||
|
||||
var dfs func(start int)
|
||||
dfs = func(start int) {
|
||||
if start == len(nums) {
|
||||
tmp := make([]int, len(nums))
|
||||
copy(tmp, nums)
|
||||
result = append(result, tmp)
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
|
||||
for i := start; i < len(nums); i++ {
|
||||
nums[start], nums[i] = nums[i], nums[start]
|
||||
dfs(start + 1)
|
||||
nums[start], nums[i] = nums[i], nums[start] // 恢复
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
dfs(0)
|
||||
return result
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
> [!success] ✅ 单元测试
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||||
|
||||
```go
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||||
import (
|
||||
"slices"
|
||||
"testing"
|
||||
)
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||||
|
||||
func TestPermute(t *testing.T) {
|
||||
tests := []struct {
|
||||
name string
|
||||
input []int
|
||||
expect [][]int
|
||||
}{
|
||||
{name: "示例1", input: []int{1, 2, 3}, expect: [][]int{{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}}},
|
||||
{name: "示例2", input: []int{0, 1}, expect: [][]int{{0,1},{1,0}}},
|
||||
{name: "单元素", input: []int{1}, expect: [][]int{{1}}},
|
||||
}
|
||||
|
||||
for _, tt := range tests {
|
||||
t.Run(tt.name, func(t *testing.T) {
|
||||
got := permute(append([]int{}, tt.input...))
|
||||
slices.SortFunc(got, func(a, b []int) int {
|
||||
return slices.Compare(a, b)
|
||||
})
|
||||
slices.SortFunc(tt.expect, func(a, b []int) int {
|
||||
return slices.Compare(a, b)
|
||||
})
|
||||
if !slices.Equal(got, tt.expect) {
|
||||
t.Errorf("permute(%v) = %v; want %v", tt.input, got, tt.expect)
|
||||
}
|
||||
})
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
> [!quote] 💬 延伸思考
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|
||||
全排列的决策树是一棵**规则的 n 叉树**——叶子节点数 = n!。这也正是信息论下界：你必须至少访问 n! 个叶子才能列出全部排列，所以 O(n·n!) 已是最优。
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||||
|
||||
> [!summary] 📋 本章要点回顾
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||||
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||||
> 全排列是回溯的最佳入门题：
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||||
>
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||||
> 1. **模型简洁**——决策规则对称，便于手绘理解
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||||
> 2. **模板通用**——"选择→递归→撤销"可无缝迁移到组合、子集、N 皇后
|
||||
> 3. **优化阶梯清晰**——从 `used` 数组到原地交换，再到第 K 个排列的数学构造
|
||||
>
|
||||
> **口诀**：一进一出两改两回，选了加，回去退。
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---
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||||
> [!example] 🔀 关联变体题
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||||
- **LeetCode 47. Permutations II** — 含重复元素的全排列
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||||
- **[[回溯/56-子集]]** — 回溯最基础范式，决策树是二叉树（选或不选）
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||||
- **[[回溯/57-电话号码的字母组合]]** — 多叉树搜索，每层候选集不同
|
||||
- **[[技巧/99-下一个排列]]** — 有序生成排列，不需要枚举全部
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||||
+407
@@ -0,0 +1,407 @@
|
||||
---
|
||||
tags: ["LeetCode", "回溯", "数组", "位运算", "中等"]
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||||
create time: 2026-05-17 10:30
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---
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# 56-子集
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||||
## 题面
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> **LeetCode 78. Subsets**
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||||
给你一个整数数组 `nums`，数组中的元素 **互不相同**。返回该数组所有可能的子集（幂集）。
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||||
解集 **不能** 包含重复的子集。你可以按 **任意顺序** 返回解集。
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||||
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||||
**示例 1：**
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||||
```
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||||
输入：nums = [1,2,3]
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||||
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
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||||
```
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||||
|
||||
**示例 2：**
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||||
|
||||
```
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||||
输入：nums = [0]
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||||
输出：[[],[0]]
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||||
```
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||||
|
||||
**提示：**
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||||
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||||
- `1 <= nums.length <= 10`
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||||
- `-10 <= nums[i] <= 10`
|
||||
- `nums` 中的所有元素 **互不相同**
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||||
|
||||
---
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||||
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||||
## 思路
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||||
> [!question] 💡 思考
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||||
假设 `nums = [1, 2, 3]`，手动枚举所有子集——你会怎么列才不会漏、不会重？
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||||
一个直观的做法是：对每个元素，问一个问题——**「选它，还是不选它？」**
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||||
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||||
```
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||||
1 选 or 不选？ → 2 选 or 不选？ → 3 选 or 不选？
|
||||
```
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||||
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||||
每个元素恰好两个抉择，所以一共 `2 × 2 × 2 = 2³ = 8` 种组合，正好对应幂集大小 `2^n`。
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||||
> [!abstract] 🎯 核心洞察
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||||
全排列的决策树是 **n 叉树**（每层有 n, n-1, ..., 1 个选择），而子集的决策树是一棵 **完美二叉树**：
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||||
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||||
| 决策点 | 选项 | 分支数 |
|
||||
|--------|------|--------|
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||||
| 第 i 个元素 | 加入子集 / 不加入子集 | **2** |
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||||
|
||||
这棵树有 `n` 层，叶子节点共 `2^n` 个——**但注意：每个节点都代表一个有效子集**，不只是叶子！这是子集问题与排列/组合问题的最大区别。
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||||
|
||||
### 回溯框架三要素
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|
||||
子集回溯与全排列的关键差异在 **「何时记录答案」**：
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||||
```
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||||
全排列 / 组合：只有走到叶子（或指定深度）才记录
|
||||
子 集 ：每个节点都是答案，边递归边记录
|
||||
```
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||||
|
||||
维护一个 `path` 记录当前子集，用 `start` 参数控制每层的遍历起点——从 `start` 往后选，不允许回头，天然避免重复子集。
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||||
|
||||
### 回溯决策树（以 `nums = [1, 2, 3]` 为例）
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||||
|
||||
```mermaid
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||||
flowchart TD
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||||
root["[] ✅"] --> NO1["不选 1"]
|
||||
root --> YES1["选 1 → [1] ✅"]
|
||||
|
||||
NO1 --> NO2["不选 2"]
|
||||
NO1 --> YES2["选 2 → [2] ✅"]
|
||||
|
||||
YES1 --> NO3["不选 2 → [1] ✅"]
|
||||
YES1 --> YES3["选 2 → [1,2] ✅"]
|
||||
|
||||
NO2 --> NO33["不选 3 → [] ✅"]
|
||||
NO2 --> YES33["选 3 → [3] ✅"]
|
||||
|
||||
YES2 --> NO4["不选 3 → [2] ✅"]
|
||||
YES2 --> YES4["选 3 → [2,3] ✅"]
|
||||
|
||||
NO3 --> NO5["不选 3 → [1] ✅"]
|
||||
NO3 --> YES5["选 3 → [1,3] ✅"]
|
||||
|
||||
YES3 --> NO6["不选 3 → [1,2] ✅"]
|
||||
YES3 --> YES6["选 3 → [1,2,3] ✅"]
|
||||
|
||||
classDef leaf fill:#FFD700,stroke:#DAA520,color:#000;
|
||||
class NO33,YES33,NO4,YES4,NO5,YES5,NO6,YES6 leaf;
|
||||
```
|
||||
|
||||
**关键观察：**
|
||||
|
||||
- 共 `2^(n+1) - 1` 个节点（n 层满二叉树的总结点数），每到一个节点就将 `path` 拷贝入结果
|
||||
- 用 `start` 保证不回头：右子树永远不选当前及之前的元素
|
||||
|
||||
---
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||||
## 方法一：回溯（标准模板）⭐ 推荐
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||||
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||||
> [!tip] 🔑 写法要点
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||||
|
||||
```go
|
||||
var result [][]int
|
||||
|
||||
var dfs func(start int)
|
||||
dfs = func(start int) {
|
||||
// ⚠️ 每个节点都收集答案（区别于排列只在叶子记录）
|
||||
result = append(result, append([]int(nil), path...))
|
||||
|
||||
for i := start; i < len(nums); i++ {
|
||||
path = append(path, nums[i]) // 做选择
|
||||
dfs(i + 1) // 递归：下一个位置从 i+1 开始
|
||||
path = path[:len(path)-1] // 撤销选择
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
dfs(0)
|
||||
```
|
||||
|
||||
**为什么从 `i+1` 开始而不是像全排列那样从头遍历？**
|
||||
|
||||
- 子集不允许回头 → `[1, 2]` 和 `[2, 1]` 算同一个子集
|
||||
- 固定顺序（从前向后选）即可天然去重，无需 `used[]` 数组
|
||||
- 这等价于从 `n` 个元素中选出 `k` 个的组合思想
|
||||
|
||||
- **时间复杂度**：O(n × 2^n) —— 2^n 个子集，每个拷贝 O(n)
|
||||
- **空间复杂度**：O(n) —— 递归栈深度
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---
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## 方法二：迭代（逐元素扩展法）
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> [!tip] 🔑 核心思想
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从空集出发，每遇到一个新元素，把**已有的所有子集各自加上该元素**作为新子集追加到结果中。
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```
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初始: [[]]
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遇到 1: [[] , [1]] ← 已有子集 + 每个加 1
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||||
遇到 2: [[] , [1], [2], [1,2]] ← 上一步全部 + 每个加 2
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||||
遇到 3: ... ← 同上规律
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```
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||||
每次迭代子集数量翻倍：`1 → 2 → 4 → 8 → ... → 2^n`。
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||||
**时间复杂度**：O(n × 2^n)
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||||
**空间复杂度**：O(1) 额外（不计返回值）
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||||
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||||
---
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## 方法三：位运算（枚举掩码）
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> [!note] 🔑 核心思想
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`n` 个元素的幂集大小为 `2^n`，可以用 `0` 到 `2^n - 1` 的二进制数编码：
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- 第 `j` 位为 `1` → 包含 `nums[j]`
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- 第 `j` 位为 `0` → 不包含 `nums[j]`
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```
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nums = [1, 2, 3]
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000 → []
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001 → [1]
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010 → [2]
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011 → [1,2]
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100 → [3]
|
||||
101 → [1,3]
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110 → [2,3]
|
||||
111 → [1,2,3]
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```
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**优点**：代码极简，仅两层 for 循环
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||||
**缺点**：无法提前终止（回溯可以通过剪枝跳过无效分支），面试时通常作为加分项展示多样性。
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||||
**时间复杂度**：O(n × 2^n)
|
||||
**空间复杂度**：O(n)
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---
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## 代码提示
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> [!abstract] 📝 回溯通用骨架（子集版）
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```go
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||||
var result [][]int
|
||||
var path []int
|
||||
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||||
var dfs func(start int)
|
||||
dfs = func(start int) {
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||||
// ① Base case 隐式处理——每到一个节点就记录
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||||
result = append(result, append([]int(nil), path...))
|
||||
|
||||
// ② 从 start 往后枚举，不允许回头
|
||||
for i := start; i < len(nums); i++ {
|
||||
path = append(path, nums[i]) // 做选择
|
||||
dfs(i + 1) // 递归
|
||||
path = path[:len(path)-1] // 撤销选择
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
dfs(0)
|
||||
return result
|
||||
```
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||||
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||||
> [!summary] 📋 子集 vs 排列 vs 组合
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||||
| 问题 | 决策树 | 何时记录 | 遍历方式 | 去重手段 |
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||||
|------|--------|---------|---------|---------|
|
||||
| **子集** (LC 78) | 二叉树 | 每个节点 | `for i := start` | `start` 防回头 |
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||||
| **全排列** (LC 46) | n 叉树 | 叶子节点 | `for i := range` + `used[]` | `used[]` 标记 |
|
||||
| **组合** (LC 77) | 二叉树 | 指定深度 | `for i := start` | `start` 防回头 |
|
||||
|
||||
**共同口诀**：
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||||
|
||||
```
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||||
做选择 → 递归探索 → 撤销选择
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||||
```
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||||
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||||
子集的特殊之处：
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||||
> 排列和组合只收集「完整方案」；子集收集「每一个中间状态」。
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---
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||||
## 代码
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||||
> [!success] ✅ 方法一：回溯（⭐ 推荐）
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||||
```go
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||||
// subsets 返回 nums 的所有子集（幂集）。
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||||
//
|
||||
// 时间复杂度：O(n * 2^n) — 共 2^n 个子集，每个拷贝 O(n)
|
||||
// 空间复杂度：O(n) — 递归栈深度为 n
|
||||
func subsets(nums []int) [][]int {
|
||||
var result [][]int
|
||||
path := make([]int, 0, len(nums))
|
||||
|
||||
var dfs func(start int)
|
||||
dfs = func(start int) {
|
||||
// 每个节点都是答案，直接记录
|
||||
result = append(result, append([]int(nil), path...))
|
||||
|
||||
for i := start; i < len(nums); i++ {
|
||||
path = append(path, nums[i]) // 做选择
|
||||
dfs(i + 1) // 递归：下一层从 i+1 开始
|
||||
path = path[:len(path)-1] // 撤销选择
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
dfs(0)
|
||||
return result
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
> [!success] ✅ 方法二：迭代（逐元素扩展）
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||||
|
||||
```go
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||||
// subsetsIterative 使用迭代法求所有子集。
|
||||
//
|
||||
// 时间复杂度：O(n * 2^n)
|
||||
// 空间复杂度：O(1) 额外（不计返回值）
|
||||
func subsetsIterative(nums []int) [][]int {
|
||||
result := [][]int{{}}
|
||||
|
||||
for _, num := range nums {
|
||||
n := len(result)
|
||||
for i := 0; i < n; i++ {
|
||||
newSubset := append(result[i], num)
|
||||
result = append(result, append([]int(nil), newSubset...))
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
return result
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
> [!success] ✅ 方法三：位运算
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||||
|
||||
```go
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||||
// subsetsBitManipulation 通过位枚举求所有子集。
|
||||
//
|
||||
// 时间复杂度：O(n * 2^n)
|
||||
// 空间复杂度：O(n)
|
||||
func subsetsBitManipulation(nums []int) [][]int {
|
||||
n := len(nums)
|
||||
result := make([][]int, 0, 1<<n) // 预分配容量
|
||||
|
||||
for mask := 0; mask < (1<<n); mask++ {
|
||||
subset := make([]int, 0)
|
||||
for j := 0; j < n; j++ {
|
||||
if mask&(1<<j) != 0 { // 检查第 j 位是否为 1
|
||||
subset = append(subset, nums[j])
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
result = append(result, subset)
|
||||
}
|
||||
|
||||
return result
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
> [!success] ✅ 单元测试
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||||
|
||||
```go
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||||
import (
|
||||
"slices"
|
||||
"testing"
|
||||
)
|
||||
|
||||
func TestSubsets(t *testing.T) {
|
||||
tests := []struct {
|
||||
name string
|
||||
input []int
|
||||
expect [][]int
|
||||
}{
|
||||
{name: "示例1", input: []int{1, 2, 3}, expect: [][]int{{},{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}},
|
||||
{name: "单元素", input: []int{0}, expect: [][]int{{},{0}}},
|
||||
}
|
||||
|
||||
for _, tt := range tests {
|
||||
t.Run(tt.name, func(t *testing.T) {
|
||||
got := subsets(append([]int{}, tt.input...))
|
||||
slices.SortFunc(got, func(a, b []int) int {
|
||||
if len(a) != len(b) {
|
||||
return len(a) - len(b)
|
||||
}
|
||||
return slices.Compare(a, b)
|
||||
})
|
||||
slices.SortFunc(tt.expect, func(a, b []int) int {
|
||||
if len(a) != len(b) {
|
||||
return len(a) - len(b)
|
||||
}
|
||||
return slices.Compare(a, b)
|
||||
})
|
||||
if !slices.Equal(got, tt.expect) {
|
||||
t.Errorf("subsets(%v) = %v; want %v", tt.input, got, tt.expect)
|
||||
}
|
||||
})
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
---
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||||
|
||||
## 技巧
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> [!danger] ⚠️ Go 切片陷阱：存引用还是存值？
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||||
与全排列一样，`path` 指向同一底层数组。如果不创建独立副本直接存入 `result`，后续回溯修改会污染已记录的结果。
|
||||
|
||||
```go
|
||||
// ❌ 危险：存的是引用，后续 path 变化会影响所有已记录的子集
|
||||
result = append(result, path)
|
||||
|
||||
// ✅ 正确：创建独立副本
|
||||
result = append(result, append([]int(nil), path...))
|
||||
```
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||||
|
||||
> [!tip] 🔑 何时用位运算？
|
||||
|
||||
当 `n ≤ 20` 且需要简洁实现时，位运算是最短的代码路径。但在面试中建议优先写回溯——它展现了你对算法范式的理解，且更容易扩展到变体问题（如含重复元素的情况）。
|
||||
|
||||
> [!quote] 💬 延伸思考
|
||||
|
||||
幂集的大小是指数级 `2^n`。这意味着：
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||||
|
||||
1. **任何子集算法都不可能低于 O(2^n)** —— 你必须至少列出所有子集
|
||||
2. `n > 20` 时暴力枚举就会超时，必须借助数学性质（如排序后的贪心、前缀和优化等）
|
||||
3. 这也解释了为什么 LeetCode 将本题约束为 `n ≤ 10` —— 留出了大量练习空间
|
||||
|
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---
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||||
## 总结
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||||
> [!summary] 📋 本章要点回顾
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||||
> 子集问题是回溯的入门基石：
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||||
>
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||||
> 1. **模型最简**——二叉决策树，每步只需回答「选 or 不选」
|
||||
> 2. **记录时机特殊**——每个节点都是合法子集，而非仅叶子
|
||||
> 3. **三种实现等价**——回溯、迭代扩展、位枚举，各有适用场景
|
||||
> 4. **可迁移到大量变体**：含重复元素 [[回溯/57-子集 II]]、分割回文串、电话号码组合
|
||||
>
|
||||
> **口诀**：一进一出两改两回，选了加，回去退，每个节点都要收。
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!example] 🔀 关联变体题
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||||
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||||
- **[[回溯/55-全排列]]** — 回溯入门第一题，n 叉树 vs 二叉树
|
||||
- **LeetCode 90. Subsets II** — 含重复元素的子集（需排序 + 同层去重）
|
||||
- **LeetCode 77. Combinations** — 从 n 中选 k 个（固定深度的子集）
|
||||
- **LeetCode 216. Combination Sum III** — 组合之和 III（加和条件过滤）
|
||||
- **LeetCode 40. Combination Sum II** — 组合总和 II（含重复元素 + 目标和）
|
||||
- **[[回溯/57-电话号码的字母组合]]** — 笛卡尔积型回溯，每层候选集不同
|
||||
@@ -0,0 +1,307 @@
|
||||
---
|
||||
tags: ["LeetCode", "回溯", "字符串", "中等"]
|
||||
create time: 2026-05-17 11:00
|
||||
---
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||||
|
||||
# 57-电话号码的字母组合
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||||
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||||
## 题面
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||||
> **LeetCode 17. Letter Combinations of a Phone Number**
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||||
给定一个仅包含数字 `2-9` 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 **任意顺序** 返回。
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||||
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||||
给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 `1` 不对应任何字母。
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||||
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||||
```
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||||
2: "abc" 3: "def" 4: "ghi" 5: "jkl"
|
||||
6: "mno" 7: "pqrs" 8: "tuv" 9: "wxyz"
|
||||
```
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||||
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||||
**示例 1：**
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||||
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||||
```
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||||
输入：digits = "23"
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||||
输出：["ad","ae","af","bd","be","bf","cd","ce","cf"]
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||||
```
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||||
|
||||
**示例 2：**
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||||
|
||||
```
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||||
输入：digits = "2"
|
||||
输出：["a","b","c"]
|
||||
```
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||||
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||||
**提示：**
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||||
- `1 <= digits.length <= 4`
|
||||
- `digits[i]` 是范围 `['2', '9']` 的一个数字。
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---
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||||
## 思路
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> [!question] 💡 思考
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||||
假设输入是 `"23"`，你会怎么得到所有字母组合？
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||||
直观做法：先固定 `'2' → "abc"` 中的一个字母，再固定 `'3' → "def"` 中的一个字母，拼成两位字符串。两层循环就能搞定：
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||||
|
||||
```go
|
||||
for _, a := range "abc" { // 第1层：选2对应的字母
|
||||
for _, b := range "def" { // 层：选3对应的字母
|
||||
result = append(result, string(a)+string(b))
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
但如果输入是 `"234"` 呢？需要三层嵌套……`"2345"` 就是四层……输入长度不固定，没法手写固定层数的循环。
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||||
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||||
这时就该回溯算法登场了——用递归模拟任意深度的嵌套循环。
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||||
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||||
> [!abstract] 🎯 核心洞察
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||||
本题的决策树是一棵 **多叉树**，每层的分支数取决于当前数字对应几个字母：
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||||
| 数字 | 对应字母 | 分支数 |
|
||||
|------|---------|--------|
|
||||
| 2 | a, b, c | 3 |
|
||||
| 3 | d, e, f | 3 |
|
||||
| 4 | g, h, i | 3 |
|
||||
| 5 | j, k, l | 3 |
|
||||
| 6 | m, n, o | 3 |
|
||||
| 7 | p, q, r, s | **4** |
|
||||
| 8 | t, u, v | 3 |
|
||||
| 9 | w, x, y, z | **4** |
|
||||
|
||||
以 `digits = "23"` 为例，决策过程：
|
||||
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||||
```
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||||
先选 2 的字母(a/b/c)，再选 3 的字母(d/e/f) → 拼成结果
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```
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||||
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||||
每个数字是一个决策层，该层有若干候选字母可选，选完一层进入下一层，直到穷尽所有数字。
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||||
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||||
### 回溯框架三要素
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||||
回溯通用骨架在本题中的具体化：
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```
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||||
选择某数字对应的一个字母 → 递归处理下一个数字 → 换该数字的下一个字母
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||||
```
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||||
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||||
维护一个 `path` 记录当前拼接的字母序列。与全排列不同，这里不需要 `used[]` ——因为每个数字只访问一次，按索引顺序推进即可。
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||||
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||||
### 回溯决策树（以 `digits = "23"` 为例）
|
||||
|
||||
```mermaid
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||||
flowchart TD
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||||
root["空 []"] --> A["选 a"]
|
||||
root --> B["选 b"]
|
||||
root --> C["选 c"]
|
||||
|
||||
A --> AD["选 d<br/>✅"]
|
||||
A --> AE["选 e<br/>✅"]
|
||||
A --> AF["选 f<br/>✅"]
|
||||
|
||||
B --> BD["选 d<br/>✅"]
|
||||
B --> BE["选 e<br/>✅"]
|
||||
B --> BF["选 f<br/>✅"]
|
||||
|
||||
C --> CD["选 d<br/>✅"]
|
||||
C --> CE["选 e<br/>✅"]
|
||||
C --> CF["选 f<br/>✅"]
|
||||
|
||||
classDef leaf fill:#90EE90,stroke:#228B22,color:#000;
|
||||
class AD,AE,AF,BD,BE,BF,CD,CE,CF leaf;
|
||||
```
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||||
|
||||
> [!note] 🔍 关键观察
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||||
|
||||
注意到这是一棵 **"逐层展开"** 的树——不像全排列那样每层都从全部元素中选，而是第 `i` 层只能选 `digits[i]` 对应的那些字母。一旦选完最后一层（深度等于 `digits` 长度），路径就是一条完整的答案。
|
||||
|
||||
---
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||||
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||||
## 代码提示
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||||
|
||||
> [!abstract] 📝 回溯通用骨架
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||||
|
||||
```go
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||||
var digitMap = map[byte]string{
|
||||
'2': "abc", '3': "def", '4': "ghi", '5': "jkl",
|
||||
'6': "mno", '7': "pqrs", '8': "tuv", '9': "wxyz",
|
||||
}
|
||||
|
||||
var result []string
|
||||
|
||||
var dfs func(path []byte)
|
||||
dfs = func(path []byte) {
|
||||
// Base case: 已选满 digits 的长度
|
||||
if len(path) == len(digits) {
|
||||
result = append(result, string(path))
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 找出当前层（第 len(path) 个数字）的候选字母
|
||||
ch := digits[len(path)]
|
||||
for _, letter := range digitMap[ch] {
|
||||
path = append(path, byte(letter)) // 做选择（range string → rune，需转 byte）
|
||||
dfs(path) // 递归
|
||||
path = path[:len(path)-1] // 撤销选择
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 边界：空输入直接返回空数组
|
||||
if digits == "" {
|
||||
return result
|
||||
}
|
||||
|
||||
dfs(nil)
|
||||
return result
|
||||
```
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||||
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||||
> [!tip] 🔑 设计细节
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|
||||
为什么 Base Case 是 `len(path) == len(digits)` 而不是传一个 `index` 参数？
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||||
|
||||
两种方式等价，但利用 `len(path)` 作为隐式索引更简洁——不需要额外传参，也不需要回退时改变 index。代价是每次用 `digits[len(path)]` 做一次切片访问，这在 Go 中是 O(1) 操作，毫无影响。
|
||||
|
||||
---
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||||
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||||
## 技巧
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> [!tip] 🔑 核心模式
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||||
本题属于 **"笛卡尔积"** 类型的回溯——每层独立选择，最终结果是各层候选集的乘积：
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||||
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||||
| 问题类型 | 决策方式 | 代表题目 |
|
||||
|---------|---------|---------|
|
||||
| **字母组合** | 每层从**当前数字对应的字母集**中选 | LC 17（本题） |
|
||||
| **全排列** | 每层从**全部未用元素**中选 | LC 46 |
|
||||
| **子集** | 每层**选或不选** | LC 78 |
|
||||
|
||||
> [!summary] 📋 笛卡尔积 vs 其他回溯
|
||||
|
||||
```mermaid
|
||||
flowchart LR
|
||||
CART["笛卡尔积<br/>每层候选集不同<br/>如本题"]
|
||||
PERM["全排列<br/>每层从剩余中选<br/>需 used[]"]
|
||||
SUB["子集/组合<br/>每层从 start 往后选<br/>start 防回头"]
|
||||
|
||||
CART -. "同属回溯范式" .-> PERM
|
||||
PERM -. "同属回溯范式" .-> SUB
|
||||
```
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||||
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||||
> [!danger] ⚠️ 一个易错边界条件
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||||
|
||||
**输入为空字符串 `""` 时应该返回 `[]` 而非 `[""]`！**
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||||
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||||
这是面试中最容易翻车的地方。很多初学者看到 `len(path) == 0 == len("")` 就直接把空字符串加入了结果——但实际上空输入不应该产生任何有效组合。
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||||
|
||||
```go
|
||||
if digits == "" {
|
||||
return []string{}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 代码
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||||
|
||||
> [!success] ✅ 解法：回溯
|
||||
|
||||
```go
|
||||
// letterCombinations 返回 digits 能表示的所有字母组合。
|
||||
//
|
||||
// 时间复杂度：O(4^k * k) — k 为 digits 长度，最多 4 个字母/位，拼接结果 O(k)
|
||||
// 空间复杂度：O(k) — 递归栈深度为 k，k ≤ 4
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func letterCombinations(digits string) []string {
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if digits == "" {
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return []string{}
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}
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digitMap := [10]string{
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"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz",
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}
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var result []string
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path := make([]byte, 0, len(digits))
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var dfs func()
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dfs = func() {
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if len(path) == len(digits) {
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result = append(result, string(path))
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return
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}
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// 取出当前层对应数字的字母集合
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letters := digitMap[digits[len(path)]-'0']
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for i := 0; i < len(letters); i++ {
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path = append(path, letters[i]) // 做选择
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dfs() // 递归进入下一层
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path = path[:len(path)-1] // 撤销选择
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}
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}
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dfs()
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return result
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}
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```
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> [!success] ✅ 单元测试
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```go
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import (
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"slices"
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"testing"
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)
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func TestLetterCombinations(t *testing.T) {
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tests := []struct {
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name string
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input string
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expect []string
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}{
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{name: "示例1", input: "23", expect: []string{"ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"}},
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||||
{name: "示例2", input: "2", expect: []string{"a", "b", "c"}},
|
||||
{name: "单字符7", input: "7", expect: []string{"p", "q", "r", "s"}},
|
||||
{name: "含空串", input: "", expect: []string{}},
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||||
{name: "双7", input: "77", expect: []string{"pp", "pq", "pr", "ps", "qp", "qq", "qr", "qs", "rp", "rq", "rr", "rs", "sp", "sq", "sr", "ss"}},
|
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}
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for _, tt := range tests {
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t.Run(tt.name, func(t *testing.T) {
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got := letterCombinations(tt.input)
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slices.Sort(got)
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slices.Sort(tt.expect)
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if !slices.Equal(got, tt.expect) {
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t.Errorf("letterCombinations(%q) = %v; want %v", tt.input, got, tt.expect)
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}
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})
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}
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}
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```
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## 总结
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> [!summary] 📋 本章要点回顾
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> 电话号码的字母组合是回溯中 **"笛卡尔积型"** 的代表题：
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> 1. **决策特征鲜明**——每层的选择集由当前数字决定，不同于排列的全量选择和子集的选/不选
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> 2. **实现最简回溯**——无需 `used[]`、无需 `start`，一个 `path` 走天下
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> 3. **边界处理关键**——空输入必须特判，否则会得到错误的 `[""]`
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> 4. **复杂度清晰**——4 叉为上限，`k ≤ 4` 的约束下枚举规模极小
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>
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> **口诀**：不进不出只改不回，选了加，回去退，每层候选看数字。
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> [!example] 🔀 关联变体题
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- **[[回溯/55-全排列]]** — 每层从全部未用元素中选，需 `used[]`
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- **[[回溯/56-子集]]** — 二叉决策树，选或不选
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- **LeetCode 980. Unique Paths III** — 带障碍和步数约束的回溯探索
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- **LeetCode 22. Generate Parentheses** — 另一种笛卡尔积变形（状态受限的逐位构造）
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