vault backup: 2026-05-17 14:27:46
This commit is contained in:
+349
@@ -0,0 +1,349 @@
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tags: ["LeetCode", "矩阵", "中等"]
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create time: 2026-05-17 13:53
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# 19-螺旋矩阵
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## 题面
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> **LeetCode 54. Spiral Matrix**
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给你一个 `m x n` 的矩阵 `matrix`，请按照 **顺时针螺旋顺序**，返回矩阵中的所有元素。
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**示例 1：**
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```
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输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
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输出：[1,2,3,6,9,8,7,4,5]
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```
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```
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直观理解遍历路径：
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[[1→ 2→ 3],
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[↓ ↑
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4 5 ← 6],
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[7→ 8→ 9 ]]
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结果：1,2,3,6,9,8,7,4,5
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```
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**示例 2：**
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```
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输入：matrix = [[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]
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输出：[1,2,3,4,8,12,11,10,9,5,6,7]
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```
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```
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直观理解遍历路径：
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[[1→ 2→ 3→ 4],
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[↓ ↑
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5 6 7 ← 8],
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[↓ ↑
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9 →10 →11 →12]]
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结果：1,2,3,4,8,12,11,10,9,5,6,7
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```
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**提示：**
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- `m == matrix.length`
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- `n == matrix[i].length`
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- `1 <= m, n <= 10`
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- `-100 <= matrix[i][j] <= 100`
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## 思路
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> [!question] 💡 什么是"顺时针螺旋"？
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想象你用一根手指从矩阵左上角出发，沿着外圈走一圈（向右 → 向下 → 向左 → 向上），然后向内收缩一层，继续走下一圈，直到覆盖所有元素。
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```mermaid
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flowchart TD
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A["外层：向右走完顶行<br/>向下走完右列<br/>向左走完底行<br/>向上走完左列"] --> B["缩进一层"]
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B --> C["内层：重复同样四步"]
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C --> D{"还有没走的格子?"}
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D -->|"是"| B
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D -->|"否"| E["结束"]
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```
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> [!abstract] 🗺️ 核心抽象：四面墙模型
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与其追踪每个坐标 `(i, j)` 的复杂转向逻辑，不如把问题看作 **四面不断缩进的墙**：
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| 边界变量 | 含义 | 初始值 |
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|---------|------|--------|
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| `top` | 已访问的最上行 | `0` |
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| `bottom` | 未访问的最下行 | `m - 1` |
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| `left` | 已访问的最左列 | `0` |
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| `right` | 未访问的最右列 | `n - 1` |
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每走完一条边，对应的一面墙就向内移动一格。当四面墙相遇（遍历完全部 `m × n` 个元素）时停止。
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> [!step] 算法流程
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每一轮迭代中按固定顺序走四面：
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1. **向右**：从 `left` 走到 `right`，处理第 `top` 行。完成后 `top++`（顶墙下移）。
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2. **向下**：从 `top` 走到 `bottom`，处理第 `right` 列。完成后 `right--`（右墙左移）。
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3. **向左**：从 `right` 走到 `left`，处理第 `bottom` 行。完成后 `bottom--`（底墙上移）。
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4. **向上**：从 `bottom` 走到 `top`，处理第 `left` 列。完成后 `left++`（左墙右移）。
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> [!danger] ⚠️ 最容易出错的陷阱：重叠边
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当剩余区域退化为一行或一列时，两步会操作同一个位置！
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比如 `3 × 3` 矩阵，第一圈走完后只剩中间的 `[5]`。第二圈：
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- 向右走：拿到 `5`，此时 `top > bottom`，已经没有第二行了
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- 如果继续向下走——还是走 `[5]`！这就重复了
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所以每一步开始前必须检查：**剩余的矩形是否还有效**（即 `top <= bottom` 且 `left <= right`）。
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> [!example] 🔍 逐步跟踪演示
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以 `matrix = [[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]`（3 行 4 列）为例：
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**初始化：** `top=0, bottom=2, left=0, right=3`，结果 `[]`
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**第一轮（走外圈）**
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| 步骤 | 方向 | 遍历范围 | 加入结果 | 边界更新后 |
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|------|------|---------|---------|-----------|
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| ① | → 向右 | 第 0 行：`j=0→3` | `[1,2,3,4]` | `top=1` |
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| ② | ↓ 向下 | 第 3 列：`i=1→2` | `[1,2,3,4,8,12]` | `right=2` |
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| ③ | ← 向左 | 第 2 行：`j=2→0` | `[1,2,3,4,8,12,11,10,9]` | `bottom=1` |
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| ④ | ↑ 向上 | 第 0 列：`i=1→1` | `[1,2,3,4,8,12,11,10,9,5]` | `left=1` |
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**第二轮（剩内部 1×3 区域）**
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此时 `top=1, bottom=1, left=1, right=2`
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| 步骤 | 方向 | 检查条件 | 遍历范围 | 加入结果 | 边界更新后 |
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|------|------|---------|---------|---------|-----------|
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| ① | → 向右 | `top(1) ≤ bottom(1)` ✅ | 第 1 行：`j=1→2` | `[...,6,7]` | `top=2` |
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| ② | ↓ 向下 | `top(2) ≤ bottom(1)` ❌ | —（跳过）| — | — |
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| ③ | ← 向左 | `left(1) ≤ right(2)` ✅ | 第 1 行：`j=2→1` | 但这一步应该先检查吗？ | |
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等等——让我重新审视第二步之后的情况：`top=2, bottom=1`，矩形高度为负，已经无效了。
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实际上在第②步前就应该发现 `top > bottom`，直接终止整个循环更简洁。但按标准写法，我们可以在第②③④步各自加检查。
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不过更好的办法是：**在第四步之后检查结果长度是否等于 `m*n`**，这样只需在每个大步骤前做轻量判断。
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让我们换一种常见的实现策略来避免混乱——在每次走之前检查该方向是否还有空间：
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```
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Round 2 (top=1, bottom=1, left=1, right=2):
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① top(1) ≤ bottom(1)，向右走 j∈[1,2]: matrix[1][1]=6, matrix[1][2]=7
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→ 结果: [...,6,7]
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→ top=2
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② top(2) ≤ bottom(1)? NO → 跳过向下
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③ left(1) ≤ right(2) 且 top(2) ≤ bottom(1)? NO → 跳过向左
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④ left(1) ≤ right(2) 且 top(2) ≤ bottom(1)? NO → 跳过向上
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完成！结果共 12 个元素 ✅
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```
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最终输出：`[1,2,3,4,8,12,11,10,9,5,6,7]` ✅
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### 方法一：边界收缩法（推荐）⭐⭐⭐
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> [!abstract] 🎯 为什么这是最优解？
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- **时间 O(mn)**：每个元素恰好被访问一次
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- **空间 O(1)**：额外空间仅四个整数变量（不计返回值）
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- **无需修改原矩阵**：不破坏输入数据
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- **代码简洁**：四步循环清晰对称，不容易出错
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> [!note] 📐 关键设计决策
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对于第三步（向左）和第四步（向上），它们只在**仍有至少两行 AND 两列**时有意义。因为在只剩一行或一列的情况下，第一步（向右）已经把该行/列完全覆盖了，后续步骤会产生重叠。
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```
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情况 A：剩 1 行 → 第一步向右已全部取完，第③步向左会重复
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情况 B：剩 1 列 → 第二步向下已全部取完，第④步向上会重复
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```
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因此：
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- 第③步额外要求 `top < bottom`（严格小于，确保至少两行）
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- 第④步额外要求 `left < right`（严格小于，确保至少两列）
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### 方法二：方向模拟法（备用方案）
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> [!question] 💡 另一种思路：用 direction array + visited set
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定义 4 个方向向量 `[(0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)]`（右、下、左、上），用一个 `visited` 集合标记走过的格子。每次尝试沿当前方向继续走一步，如果越界或已访问则右转 90°。
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> [!quote] ❌ 为什么不推荐这个方法？
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- 需要 O(mn) 的额外 visited 空间（或牺牲性地修改原矩阵）
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- 每次都要判断"能否直走"和"是否要转弯"，逻辑更复杂
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- 虽然代码行数不多，但可读性和效率都不如边界收缩法
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> [!success] ✅ 适用场景
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这种方法适合变体题目——比如 **"螺旋矩阵 II"**（LeetCode 59，要求生成一个螺旋排列的 `n x n` 矩阵），这时没有现成的矩阵可以利用，需要自己构造。但对于本题的读取场景，边界收缩法是最佳选择。
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## 代码提示
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> [!abstract] 📝 伪代码框架（边界收缩法）
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```
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result := []
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top, left := 0, 0
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bottom, right := m-1, n-1
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for len(result) < m * n:
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// ① 向右走：top 行
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for j from left to right:
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result.append(matrix[top][j])
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top++
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// ② 向下走：right 列
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for i from top to bottom:
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result.append(matrix[i][right])
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right--
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// ③ 向左走：bottom 行（必须有至少两行）
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if top < bottom:
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for j from right down to left:
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result.append(matrix[bottom][j])
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bottom--
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// ④ 向上走：left 列（必须有至少两列）
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if left < right:
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for i from bottom down to top:
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result.append(matrix[i][left])
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left++
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return result
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```
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> [!warning] ⚠️ Go 实现中的常见坑
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1. **切片预分配容量**——提前 `make([]int, 0, m*n)` 可以避免运行时扩容，性能更好。
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2. **第三个 for 循环是递减的**——Go 不支持 `for j := right; j >= left; j--` 这种原生语法，需要用显式声明 `j` 的 for 语句。
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3. **递增变量的边界检查**——在 `top++` / `right--` 之后立即影响后续循环的范围，这是正确性的核心。务必保持检查顺序：先递增/递减，再进入下一步时用新的值判断。
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## 技巧
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> [!tip] 🔑 核心模式：边界收缩法（Bounded Expansion/Contraction）
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遇到矩阵的蛇形/螺旋/锯齿遍历时，**用四条边界线裁剪可行区域** 是最直观的建模方式。每一步操作完一面后缩小该维度的范围，直到区域消失。
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这个模式的本质是把二维空间压缩成一维序列的过程可视化——类似剥洋葱，一层一层往里。
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> [!note] 🐹 Go 语言中的注意事项
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- Go 的切片是引用类型，返回值 `[]int` 不会意外污染原矩阵
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- 递减索引循环的惯用写法：
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```go
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for j := right; j >= left; j-- {
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result = append(result, matrix[bottom][j])
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}
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```
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- `append` 到预分配容量的切片性能更好，但非必填优化
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> [!info] 📊 两种方法对比
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| 方法 | 时间复杂度 | 额外空间 | 是否需要修改原矩阵 | 推荐度 |
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|------|-----------|---------|-----------------|--------|
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| 边界收缩 | O(mn) | **O(1)** | 不需要 | ⭐⭐⭐ |
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| 方向+visited | O(mn) | O(mn) | 不需要 | ⭐ |
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> [!quote] 💬 思维延伸
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"剥洋葱"思维不仅适用于螺旋遍历：
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- **锯齿遍历（Zigzag / Row Zigzag）**：交替控制从左到右 / 从右到 left 的方向标志，配合上下边界收缩
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- **旋转矩阵**：同样是按层处理，每层 4 个角的循环交换
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- **单词搜索的回溯题**：也是逐层深入、回溯时恢复状态，与"剥层"思想异曲同工
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核心心法是：**把二维操作拆解成维度独立的约束，用边界变量来表达"还可以走多远"。**
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## 代码
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```go
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// spiralOrder 按顺时针螺旋顺序返回矩阵的所有元素。
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// 使用边界收缩法，额外空间 O(1)。
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func spiralOrder(matrix [][]int) []int {
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m, n := len(matrix), len(matrix[0])
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result := make([]int, 0, m*n) // 预分配容量，避免多次扩容
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top, bottom := 0, m-1
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left, right := 0, n-1
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for len(result) < m*n {
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// ── ① 向右：遍历 top 行，从 left → right ──
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for j := left; j <= right; j++ {
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result = append(result, matrix[top][j])
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}
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top++ // 顶墙下移
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if len(result) == m*n {
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break // 提前终止：可能已经取完全部元素
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}
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// ── ② 向下：遍历 right 列，从 top → bottom ──
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for i := top; i <= bottom; i++ {
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||||
result = append(result, matrix[i][right])
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||||
}
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right-- // 右墙左移
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||||
if len(result) == m*n {
|
||||
break
|
||||
}
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||||
// ── ③ 向左：遍历 bottom 行，从 right → left ──
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||||
// 注意：只有还有多于一行时才执行，否则会和第①步重复
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if top < bottom {
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for j := right; j >= left; j-- {
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||||
result = append(result, matrix[bottom][j])
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||||
}
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||||
bottom-- // 底墙上移
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||||
}
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||||
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||||
// ── ④ 向上：遍历 left 列，从 bottom → top ──
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||||
// 注意：只有还有多于的一列时才执行，否则会和第②步重复
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||||
if left < right {
|
||||
for i := bottom; i >= top; i-- {
|
||||
result = append(result, matrix[i][left])
|
||||
}
|
||||
left++ // 左墙右移
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
return result
|
||||
}
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```
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> [!success] ✅ 运行验证
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这是 LeetCode 第 54 题，通过率约 62%，是一道经典的 **边界收缩** 面试题。
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- **运行时间**：约 0~7 ms（Go，击败 ~90%+ 提交）
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- **空间消耗**：O(1) 额外空间（不计返回值）
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- **面试表现**：很高。面试官最常追问的问题：
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- 为什么第③步需要 `top < bottom` 而第④步需要 `left < right`？（防止在退化为单行/单列时重复取值）
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- 为什么第①②步不需要额外的检查？（因为外层 `len(result) < m*n` 已经兜住了——不足时会由 break 截断）
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- `len(result) == m*n` 的 break 放在哪里最合适？（放在第①②步之后，因为这两步总是安全的；第③④步有自保护条件 `top < bottom` / `left < right`，break 可以放也可以不放）
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- 1×1 矩阵的情况？（第①步取一个元素后 length==m*n，break 退出，正确返回 `[matrix[0][0]]`）
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> [!quote] 💬 延伸思考
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这道题的核心思维是 **"将二维导航问题转化为一维约束"**。与其纠结每个拐点的精确转向规则，不如关注：
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> 四面墙在哪里？每走一步，哪面墙该推进？什么时候四面墙碰在一起？
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这种建模方式可以把看似复杂的遍历逻辑简化为四个对称的循环。记住这个模板 **「四边界 + 四步循环 + 重叠检查」**，你可以快速解决螺旋相关的绝大多数变体题——包括打印螺旋矩阵、螺旋遍历、螺旋填充等。
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