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Raw Blame History

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大题 3 — 非线性流水线调度

概述

本题考查非线性流水线的调度全过程：从预约表出发，提取禁止表、构建冲突向量、画出状态转移图、求最优调度策略，最后画时空图并计算性能指标（吞吐率、加速比、效率）。这是本课程分值最高、难度最大的核心考点。

[!tip] 考试重点这道题几乎每年必考（A 卷 24 分、B 卷 16 分），务必完整掌握以下流程： 预约表 → 禁止表 → 冲突向量 → 状态转移图 → 最优调度 → 时空图 → 性能计算

正文

一、完整解题流程

graph TD
    A["Step 0: Reservation Table"] --> B["Step 1: Forbidden Set F"]
    B --> C["Step 2: Initial Collision Vector C0"]
    C --> D["Step 3: State Transition Diagram"]
    D --> E["Step 4: Find Optimal Schedule"]
    E --> F["Step 5: Space-Time Diagram"]
    F --> G["Step 6: Performance Metrics"]

    style A fill:#e3f2fd
    style G fill:#e8f5e9

二、Step 0：预约表（Reservation Table）

预约表记录一个任务在各时钟周期对各流水段的占用情况。x 表示占用，空表示空闲。

[!question] 预约表从哪来？预约表由任务的执行过程决定——它描述了单个任务在流水线中的资源使用模式。考试中预约表直接给出，不需要自己推导。

三、Step 1：提取禁止表 `F`

规则：对预约表中的每一行（每个流水段），找出该段被占用的所有时刻，计算每两个时刻之间的时间间隔，所有间隔的集合就是禁止表。

F = \{d \mid \exists \text{某段在时刻 } t_1 \text{ 和 } t_2 \text{ 被占用，且 } d = |t_2 - t_1|\}

[!warning] 注意

只看同一段的多个占用时刻，不同段之间不比较

间隔取绝对值

去重——相同的间隔只保留一个

四、Step 2：构建初始冲突向量 `C_0`

冲突向量是一个二进制位串，第 i 位为 1 表示间隔 i 禁止进入新任务。

C_0[j] = \begin{cases} 1 & \text{if } j \in F \\ 0 & \text{if } j \notin F \end{cases}

位数 = 禁止表中的最大间隔值。

[!example] 示例：禁止表 F = \{2, 4\}

最大禁止间隔为 4，冲突向量共 4 位：

位位置 4 3 2 1

值 1 0 1 0

C_0 = 1010

含义：间隔 1 和 3 允许（位为 0），间隔 2 和 4 禁止（位为 1）。

位位置	4	3	2	1
值	1	0	1	0

五、Step 3：画状态转移图

对每个状态（冲突向量），找出允许的间隔 $j$（对应位为 0），计算转移后的新状态：

C_{new} = SHR^{(j)}(C_{current}) \lor C_0

其中 SHR^{(j)} 表示右移 j 位（高位补 0），\lor 表示按位或。

重复这个过程直到所有可达状态都被探索。

[!note] 状态转移的直觉理解

右移 j 位：相当于"过了 j 拍后，之前禁止的间隔距离缩短了 $j$"

或上 $C_0$：新进入的任务带来了与第一个任务相同的禁止间隔

当所有位都为 1 时，该状态为终态——无法再进入新任务

六、Step 4：求最优调度策略

在状态转移图中找出所有闭合回路（从某状态出发回到自身），计算每个回路的平均延迟：

\text{平均延迟} = \frac{\text{回路中各间隔之和}}{\text{回路长度（间隔个数）}}

平均延迟最小的回路即为最优调度策略。

[!important] 找回路的技巧

从初始状态 C_0 出发

列出所有可能的转移路径

找到回到 C_0 的所有回路

比较各回路的平均延迟

注意：回路可以重复——如 (3, 2, 3, 2, ...) 只需取最小循环单元 (3, 2)

七、完整例题（参考 A 卷 24 分大题）

[!example] 例题：4 段流水线调度

已知预约表如下：

段 \ 时刻 1 2 3 4 5 6 7

S_1 x x

S_2 x x

S_3 x x

S_4 x

Step 1：提取禁止表

段占用时刻间隔

S_1 1, 5 5-1=4

S_2 2, 6 6-2=4

S_3 3, 7 7-3=4

S_4 4 无间隔

F = \{4\}

Step 2：构建初始冲突向量

最大禁止间隔 = 4，冲突向量 4 位：
C_0 = 1000

位位置 4 3 2 1

值 1 0 0 0

允许间隔：j \in \{1, 2, 3\}

Step 3：计算状态转移

从 C_0 = 1000 出发：

$j=1$：SHR^{(1)}(1000) \lor 1000 = 0100 \lor 1000 = 1100 = C_1

$j=2$：SHR^{(2)}(1000) \lor 1000 = 0010 \lor 1000 = 1010 = C_2

$j=3$：SHR^{(3)}(1000) \lor 1000 = 0001 \lor 1000 = 1001 = C_3

从 $C_1 = 1100$（允许间隔 $j \in {1, 2}$，注意第 1 位和第 2 位为 0）：

等等，$C_1 = 1100$，第 1 位=0，第 2 位=0，所以允许 $j=1, 2$。

$j=1$：SHR^{(1)}(1100) \lor 1000 = 0110 \lor 1000 = 1110 = C_4

$j=2$：SHR^{(2)}(1100) \lor 1000 = 0011 \lor 1000 = 1011 = C_5

从 $C_2 = 1010$（允许间隔 $j \in {1, 3}$）：

$j=1$：SHR^{(1)}(1010) \lor 1000 = 0101 \lor 1000 = 1101 = C_6

$j=3$：SHR^{(3)}(1010) \lor 1000 = 0001 \lor 1000 = 1001 = C_3

从 $C_3 = 1001$（允许间隔 $j \in {2, 3}$）：

$j=2$：SHR^{(2)}(1001) \lor 1000 = 0010 \lor 1000 = 1010 = C_2

$j=3$：$SHR^{(3)}(1001) \lor 1000 = 0001 \lor 1000 = 1001 = C_3$（自环）

从 $C_4 = 1110$（允许间隔 $j=1$）：

$j=1$：$SHR^{(1)}(1110) \lor 1000 = 0111 \lor 1000 = 1111 = C_7$（终态）

从 $C_5 = 1011$（允许间隔 $j=2$）：

$j=2$：SHR^{(2)}(1011) \lor 1000 = 0010 \lor 1000 = 1010 = C_2

从 $C_6 = 1101$（允许间隔 $j=2$）：

$j=2$：SHR^{(2)}(1101) \lor 1000 = 0011 \lor 1000 = 1011 = C_5

Step 4：画状态转移图
stateDiagram-v2
    direction LR
    [*] --> C0
    C0 --> C1: "j=1"
    C0 --> C2: "j=2"
    C0 --> C3: "j=3"
    C1 --> C4: "j=1"
    C1 --> C5: "j=2"
    C2 --> C6: "j=1"
    C2 --> C3: "j=3"
    C3 --> C2: "j=2"
    C3 --> C3: "j=3"
    C4 --> C7: "j=1"
    C5 --> C2: "j=2"
    C6 --> C5: "j=2"
Step 5：找最优调度策略

从 C_0 出发的所有闭合回路：

回路间隔序列平均延迟

C_0 \to C_3 \to C_3 (自环) (3) 3/1 = 3.0

C_0 \to C_3 \to C_2 \to C_3 (3, 2) (3+2)/2 = 2.5

C_0 \to C_2 \to C_3 \to C_2 (2, 3) (2+3)/2 = 2.5

C_0 \to C_1 \to C_5 \to C_2 \to C_3 (1, 2, 2, 3) 8/4 = 2.0

... 需要检查是否回路回到 $C_0$。由于本例中从 C_0 出发不一定回到 $C_0$，需要选取最小平均延迟的循环回路。

最优调度策略：间隔序列为 (3, 2)，平均延迟 2.5 拍。

Step 6：画时空图（4 个任务）

按调度策略 (3, 2, 3, 2, ...)，任务进入时刻：0, 3, 5, 8

段 \ 时刻 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

S_1 T_1 T_2 T_3

S_2 T_1 T_2 T_3

S_3 T_1 T_2 T_3

S_4 T_1 T_2

（续表：任务 T_4 在时刻 10 进入...）

Step 7：计算性能指标

4 个任务总完成时间 = 最后一个任务进入时刻 + 单个任务执行时间 = 8 + 4 = 12 拍

吞吐率：TP = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} 任务/拍

串行执行时间：T_{seq} = 4 \times 4 = 16 拍

加速比：S = \frac{T_{seq}}{T_k} = \frac{16}{12} = 1.33

效率：$E = \frac{S}{k} = \frac{1.33}{4} = 33.3%$（k 为段数）

段	占用时刻	间隔
`S_1`	1, 5	`5-1=4`
`S_2`	2, 6	`6-2=4`
`S_3`	3, 7	`7-3=4`
`S_4`	4	无间隔

位位置	4	3	2	1
值	1	0	0	0

回路	间隔序列	平均延迟
`C_0 \to C_3 \to C_3` (自环)	(3)	`3/1 = 3.0`
`C_0 \to C_3 \to C_2 \to C_3`	(3, 2)	`(3+2)/2 = 2.5`
`C_0 \to C_2 \to C_3 \to C_2`	(2, 3)	`(2+3)/2 = 2.5`
`C_0 \to C_1 \to C_5 \to C_2 \to C_3`	(1, 2, 2, 3)	`8/4 = 2.0`

八、性能指标公式汇总

指标	公式	说明
吞吐率	`TP = \frac{n}{T_k}`	`n` 个任务在 `T_k` 时间完成
加速比	`S = \frac{T_{seq}}{T_k} = \frac{n \times k \times \Delta t}{T_k}`	串行时间 / 流水线时间
效率	`E = \frac{S}{k}`	流水线利用率

其中 $T_k = (n-1) \times \text{平均延迟} + k \times \Delta t$（k 为段数，\Delta t 为时钟周期）。

[!warning] 考试常见错误

提取禁止表时只看同一行的间隔，不要跨行比较

冲突向量的位数 = 最大禁止间隔，不是禁止表的元素个数

状态转移公式是右移（不是左移），且要 或上 $C_0$

最优调度是平均延迟最小的回路，不是总延迟最小的

画时空图时注意：每个任务的各段占用时刻必须与预约表一致

段 \ 时刻	0	1	2	3	5	6	7	8	10	11	12
`S_1`	`T_1`				`T_2`				`T_3`
`S_2`		`T_1`				`T_2`				`T_3`
`S_3`			`T_1`				`T_2`				`T_3`
`S_4`				`T_1`				`T_2`

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