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算法设计与分析 复习 回溯法	2026-06-10 11:11

回溯法

概述

回溯法（Backtracking）是一种在解空间树中进行深度优先搜索的算法策略。它系统地搜索问题的解空间，当发现当前路径不可能得到解时，回退到上一步尝试其他路径。回溯法是求解NP-hard问题（如图着色、N皇后）的常用方法。

正文

一、回溯法基本思想

回溯法的核心思想是：在解空间树中按 DFS（深度优先搜索） 的方式搜索，当发现某个分支不满足约束条件时，剪枝——跳过该分支，回退到父节点尝试其他分支。

[!warning] 回溯法使用DFS实现，不是队列 回溯法是沿着一条路径尽可能深地搜索，走不通就回退。它使用栈（或递归调用栈）实现DFS，而不是使用队列（BFS）。

二、解空间结构

回溯法的解空间是一棵树（不是图），常见的解空间结构有两种：

1. 子集树（Subset Tree）：用于子集选择问题。每个节点表示是否选择某个元素，共 2ⁿ 个叶节点。
2. 排列树（Permutation Tree）：用于排列问题。每个节点表示排列中的某个位置放哪个元素，共 n! 个叶节点。

flowchart TD
    Root["Root (empty)"]
    L1_1["Include item 1"]
    L1_2["Exclude item 1"]
    L2_1["Include item 2"]
    L2_2["Exclude item 2"]
    L2_3["Include item 2"]
    L2_4["Exclude item 2"]
    Leaf1["{1,2}"]
    Leaf2["{1}"]
    Leaf3["{2}"]
    Leaf4["{}"]

    Root --> L1_1
    Root --> L1_2
    L1_1 --> L2_1
    L1_1 --> L2_2
    L1_2 --> L2_3
    L1_2 --> L2_4
    L2_1 --> Leaf1
    L2_2 --> Leaf2
    L2_3 --> Leaf3
    L2_4 --> Leaf4

[!tip] 子集树与排列树 子集树有 2ⁿ 个叶节点，每个元素有"选/不选"两种选择。排列树有 n! 个叶节点，表示所有可能的排列方式。

三、剪枝函数

剪枝是回溯法效率的关键。两类剪枝函数：

1. 约束函数（Constraint Function）：可行性剪枝。判断当前部分解是否满足约束条件，不满足则剪掉。
2. 限界函数（Bound Function）：最优性剪枝。判断当前路径是否可能到达最优解，不可能则剪掉。

[!question] 回溯法的剪枝函数包括哪两类？ 约束函数（可行性剪枝）和限界函数（最优性剪枝）。约束函数判断当前解是否合法；限界函数判断当前路径是否有希望得到最优解。两类函数共同作用，大幅减少搜索空间。

四、节点分类

在回溯搜索过程中，节点分为三类：

节点类型	定义	类比
活结点（Live Node）	正在被扩展、还有未探索子节点的节点	栈中正在处理的节点
死结点（Dead Node）	已被扩展完毕，所有子节点都已探索	已经从栈中弹出的节点
扩展结点（E-Node）	当前正在生成子节点的节点	栈顶正在处理的节点

五、回溯法一般框架

#include <vector>
using namespace std;

// 回溯法框架
// t: 当前搜索深度（第几个决策）
// n: 问题规模（总共需要做的决策数）
// x: 当前解向量
void backtrack(int t, int n, vector<int>& x) {
    if (t > n)
        // output(x);          // 到达叶节点，输出解
        return;
    // f(n,t) 和 g(n,t) 为第t个位置可选值的范围
    // h(i) 将第i个候选值赋给x[t]
    // constraint(t) 为约束函数，bound(t) 为限界函数
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        x[t] = i;              // 第t个位置尝试第i种选择
        if (/* constraint(t) && */ /* bound(t) */ true)
            backtrack(t + 1, n, x); // 满足约束，继续深入
        // 否则剪枝，回退（x[t]会被下次循环覆盖）
    }
}

各部分含义：

• t：当前搜索深度（第几个决策）
• f(n,t) 和 g(n,t)：第 t 个位置可选值的范围
• h(i)：将第 i 个候选值赋给 x[t]
• constraint(t)：约束函数，判断可行性
• bound(t)：限界函数，判断是否有希望得到最优解
• output(x)：输出一个完整的解

六、经典应用

6.1 图着色/四色问题

问题：给定一个无向图 G 和 m 种颜色，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。当 m=4 时即为著名的四色问题。

回溯策略：

• 对每个顶点，尝试 m 种颜色
• 检查当前着色是否与相邻顶点冲突
• 冲突则剪枝，换下一种颜色
• 所有顶点着色完成则输出解

时间复杂度：最坏 O(mⁿ)，四色问题为 O(4ⁿ)

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

// 判断将 vertex 着色为 colors[vertex] 是否安全
bool isSafe(vector<vector<int>>& graph, vector<int>& colors, int vertex) {
    int n = graph.size();
    for (int v = 0; v < n; v++) {
        if (graph[vertex][v] && colors[v] == colors[vertex])
            return false; // 相邻顶点颜色相同，不安全
    }
    return true;
}

// 图着色回溯算法
// graph: 邻接矩阵, m: 颜色数, colors: 着色方案, vertex: 当前处理的顶点
void graphColoring(vector<vector<int>>& graph, int m, vector<int>& colors, int vertex) {
    int n = graph.size();
    if (vertex == n) {
        // 所有顶点着色完成，输出解
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << colors[i] << " ";
        cout << endl;
        return;
    }

    for (int c = 1; c <= m; c++) {
        colors[vertex] = c;       // 尝试颜色c
        if (isSafe(graph, colors, vertex))
            graphColoring(graph, m, colors, vertex + 1);
        colors[vertex] = 0;       // 回溯
    }
}

flowchart TD
    V1c1["V1: color 1"]
    V1c2["V1: color 2"]
    V2c1["V2: color 1"]
    V2c2["V2: color 2"]
    V2c3["V2: color 3"]
    V2fail1["V2: color 1 = CONFLICT"]
    V3c1["V3: color 1"]
    V3c2["V3: color 2"]
    V3fail1["V3: color 1 = CONFLICT"]
    V3fail2["V3: color 2 = CONFLICT"]
    Solution["Solution: V1=1, V2=2, V3=3"]

    V1c1 --> V2fail1
    V1c1 --> V2c2
    V1c2 --> V2c1
    V1c2 --> V2c3
    V2fail1 --> |"Pruned"| V1c1
    V2c2 --> V3fail2
    V2c2 --> V3c1
    V2c1 --> V3fail1
    V2c1 --> V3c2
    V3c1 --> Solution

解释：以三节点图为例（V1-V2, V2-V3, V1-V3），先给 V1 尝试颜色1，然后给 V2 尝试颜色1（与V1冲突，剪枝），再试颜色2（可行）。接着给 V3 尝试颜色1（与V1冲突），颜色2（与V2冲突），颜色3（可行）。得到解 V1=1, V2=2, V3=3。

6.2 N皇后问题

问题：在 N×N 的棋盘上放置 N 个皇后，使得任意两个皇后不在同一行、同一列或同一对角线上。

回溯策略：

• 每行放一个皇后（一行一个，所以只需确定列号）
• 逐行放置，每列尝试每个位置
• 检查列冲突和对角线冲突
• 冲突则剪枝

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

// 判断在 (row, col) 放置皇后是否安全
bool isSafe(vector<string>& board, int row, int col, int n) {
    // 检查同一列
    for (int i = 0; i < row; i++)
        if (board[i][col] == 'Q') return false;
    // 检查左上对角线
    for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--)
        if (board[i][j] == 'Q') return false;
    // 检查右上对角线
    for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++)
        if (board[i][j] == 'Q') return false;
    return true;
}

// N皇后回溯算法
// board: 棋盘, row: 当前处理的行, n: 棋盘大小
void solveNQueens(vector<string>& board, int row, int n) {
    if (row == n) {
        // 输出一个解
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cout << board[i] << endl;
        cout << endl;
        return;
    }

    for (int col = 0; col < n; col++) {
        if (isSafe(board, row, col, n)) {
            board[row][col] = 'Q';     // 放置皇后
            solveNQueens(board, row + 1, n);
            board[row][col] = '.';     // 回溯
        }
    }
}

解释：N皇后是经典的回溯应用。由于每行只放一个皇后，解空间是排列树。剪枝函数检查列冲突和两条对角线冲突，大幅减少搜索空间。

6.3 迷宫搜索

问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的路径。

回溯策略：

• 使用DFS探索迷宫
• 走过的路径标记为已访问
• 走到死路则回退，撤销标记
• 到达出口则输出路径

6.4 骑士巡游

问题：在 m×n 的棋盘上，骑士从某个位置出发，按"日"字形移动（8个方向），能否不重复地走遍所有格子？

回溯策略：

• 从当前位置出发，尝试8个方向
• 选择合法且未访问的位置
• 走不通则回退
• 走完所有格子则找到解

七、回溯法的复杂度分析

回溯法的最坏时间复杂度通常是指数级或阶乘级：

问题	解空间类型	最坏复杂度
子集问题	子集树	O(2ⁿ)
排列问题	排列树	O(n!)
图着色(m种)	m叉树	O(mⁿ)
N皇后	排列树	O(n!)

[!tip] 回溯法是NP-hard问题的常用求解方法 图着色、N皇后、哈密顿回路等问题都是NP-hard问题，不存在多项式时间的精确算法。回溯法虽然最坏是指数级，但通过剪枝可以大幅减少实际搜索量，是实践中最常用的精确求解方法。

[!question] 回溯法和暴力枚举有什么区别？ 暴力枚举会检查所有可能的解，而回溯法通过剪枝函数提前排除不可能的分支，大幅减少搜索空间。例如N皇后问题，暴力枚举需要检查 nⁿ 种布局，而回溯法通过冲突检测剪枝，实际搜索量远小于此。

关联笔记

• 算法设计与分析/试题册/index