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tags:
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- 算法设计与分析
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- 试题
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- 武汉科技大学
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create time: 2026-06-10 10:00
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# 试题 5 — 武汉科技大学《算法设计与分析》
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## 概述
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- **课程**：算法设计与分析
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- **学校**：武汉科技大学
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- **题型**：单项选择题、判断题、简答题、程序填空题、算法设计与编程题
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- **知识点**：递归复杂度、排序算法、图搜索(BFS/DFS)、动态规划、回溯法、四色问题
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> [!tip] 学习建议
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> 本试题与试题4内容高度相似，建议对比学习。重点关注 **程序填空题** 中的递归框架，以及 **四色地图着色** 和 **流水作业调度** 两道编程题。
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## 正文
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### 一、单项选择题（每题2分，共15题，30分）
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**从备选的答案中选出合适的答案，并把答案标号写在答题纸中。**
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1. 下列哪些不是算法的 3 要素（ ）。
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- A. 操作
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- B. 控制结构
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- C. 数据结构
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- D. 输入输出
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2. 冒泡排序的时间复杂度为（ ）。
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- A. O(n)
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- B. O(n²)
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- C. O(n³)
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- D. O(nlogn)
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3. 下列算法中错误的是（ ）。
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- A. 算法的每一步骤必须有确切的含义
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- B. 算法的时间复杂度与实现语言无关
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- C. 对于特殊的输入，算法的时间复杂度可以是不固定的
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- D. 算法的运行时间与编写程序的语言无关
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4. 求 n 个数中的最小数，时间复杂度为（ ）。
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- A. O(1)
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- B. O(n)
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- C. O(n²)
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- D. O(nlogn)
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5. 调用函数 `int fib(int n) { return (n>1 ? fib(n-1)+fib(n-2) : n); }` 时间复杂度是（ ）。
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- A. O(n)
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- B. O(n²)
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- C. O(2ⁿ)
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- D. 无递归调用
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6. 栈是一种基于什么机制实现的数据结构？（ ）
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- A. 先进先出
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- B. 先进后出
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- C. 随机存取
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- D. 索引存取
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7. 流程图中表示判断的符号是（ ）。
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- A. 圆形
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- B. 椭圆形
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- C. 菱形
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- D. 平行四边形
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8. 深度优先遍历在搜索空间树上的搜索方式为（ ）。
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- A. 广度优先
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- B. 深度优先
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- C. 最小耗费优先
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- D. 综合优先
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9. 下述算法中正确的是（ ）。
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- A. 广度优先遍历算法只适合于无向图
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- B. 广度优先遍历算法只适合于有向图
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- C. 遍历一个无向图可能需要多次调用DFS或BFS
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- D. 只需一次调用DFS或BFS即可遍历一个无向图
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10. 以下关于迭代法的描述中，正确的是（ ）。
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- A. 迭代算法在逻辑上总是可以转换为与它等价的递归算法
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- B. 每个递归算法在逻辑上总是可以转换为与它等价的循环结构算法
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- C. 迭代算法的可靠性比递归算法好
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- D. 迭代算法的执行效率一定比递归算法好
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11. （ ）阶段是优化决策解决问题的过程。
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- A. 贪心算法
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- B. 动态规划
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- C. 分支限界
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- D. 迭代算法
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12. 在算法的广度优先搜索策略中，一般采用的数据结构是（ ）。
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13. 联欢晚会报数问题，凡是报3的人出列，编号为（ ）可以胜出。
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- A. 27
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- B. 33
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- C. 48
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- D. 144
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14. 人工智能（AI）的英文全称是（ ）。
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- A. Automatic Intelligence
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- B. Automatic Information
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- C. Artificial Intelligence
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- D. Artificial Information
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**参考答案：**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
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|------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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| 答案 | D | B | C | B | C | B | C | B | C | A | B | B | A | C |
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> [!warning] 易错点
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> 第1题：算法三要素是**操作、控制结构、数据结构**。第5题：斐波那契递归时间复杂度 O(2ⁿ)。第9题：无向图若有多个连通分量，需要多次调用BFS/DFS。
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### 二、判断题（每题2分，共10题，20分）
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**正确的在括号内填 √，错误的填 ×。**
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1. 算法中的状态和步骤具有有穷性。（ ）
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2. 一个算法应该适用于解决某类问题。（ ）
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3. O(n²) 和 O(3n²+3) 的两个算法的时间复杂度相同。（ ）
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4. 经验空间复杂度是指算法在执行过程中临时占用存储空间的大小。（ ）
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5. 回溯法就是穷举法，所不同的是对一般问题回溯法比穷举法效率低。（ ）
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6. 一个算法一般适用于一个特定类型的问题。（ ）
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7. 动态规划适合求解具有重叠子问题性质的问题。（ ）
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8. 贪心算法和动态规划法都用于求解最优问题，且在每一步只做一次决策。（ ）
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**参考答案：**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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|------|---|---|---|---|---|---|---|---|
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| 答案 | × | √ | √ | × | × | √ | √ | × |
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### 三、简答题（每题10分，共2题，20分）
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#### 1. 台阶问题
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如果楼板上有 s 阶台阶，每次可以上一步1阶，也可以上一步2阶，设计算法计算共有多少种上法？要求写出递推公式。
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**参考答案：**
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设 f(n) 为上 n 阶台阶的方法数：
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- f(1) = 1，f(2) = 2
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- f(n) = f(n-1) + f(n-2)，n ≥ 3
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> [!tip] 关键理解
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> 最后一步要么上1阶（有 f(n-1) 种方法），要么上2阶（有 f(n-2) 种方法），两者相加即为总方法数。这就是斐波那契数列的变体！
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#### 2. 动态规划的基本思想步骤
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**参考答案：**
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1. **分析最优子结构**：将原问题分解为若干子问题
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2. **定义状态**：确定状态变量
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3. **建立状态转移方程**：确定状态之间的递推关系
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4. **计算顺序**：自底向上递推或记忆化搜索
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5. **构造最优解**：回溯构造最优方案
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> [!important] 关键性质
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> 动态规划适用于具有**最优子结构**和**重叠子问题**性质的问题。与分治法的区别：动态规划的子问题相互依赖，需要存储中间结果。
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### 四、程序填空题（每空2分，2×10=20分）
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#### 1. 素数判定
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```c
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try(int i) {
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if (i <= 20) {
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if (check1(i) && check2(i))
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output(i); // (1) 输出结果
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else
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try(i+1);
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}
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}
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check1(int x) {
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for (int j = 2; j <= x-1; j++)
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if (x % j == 0) return 0; // (2) 判断是否为素数
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return 1;
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}
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check2(int x) {
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for (int j = 2; j <= (x-1)/2; j++)
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if (x % j == 0) return 0; // (3) 进一步筛选
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return 1;
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}
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```
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**(1)** `i <= 20` **(2)** `x % j == 0` **(3)** `0`
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#### 2. 迷宫搜索
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```c
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search(int i, int j) {
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for (int di = -1; di <= 1; di++)
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for (int dj = -1; dj <= 1; dj++) {
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if (maze[i+di][j+dj] == 1) { // (4) 可通行
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maze[i+di][j+dj] = 2; // 标记已访问
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search(i+di, j+dj);
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}
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}
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maze[i][j] = 0; // (5) 回溯
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}
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check(int i, int j) {
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if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= m)
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flag = 0;
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else if (maze[i][j] == 0)
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flag = 0;
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else
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flag = 1; // (6) 可通行
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return flag;
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}
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```
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**(4)** `1` **(5)** `0` **(6)** `1`
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> [!note] 教学提示
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> 迷宫搜索中，`maze[i][j]` 的含义：0=未访问/障碍，1=可通行，2=已访问。回溯时将状态恢复为0。
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### 五、算法设计与编程题（每题15分，共2题，30分）
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#### 1. 四色地图着色（回溯法）
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图1是一个正在构造的四色地图，使用至多四种不同颜色对地图进行涂色，相同区域相邻颜色不同。
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**参考答案：**
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```c
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int data[6][6] = {0}; // 邻接矩阵
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int color[6] = {0};
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void tryColor(int s) {
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if (s > 6) { output(); return; }
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for (int i = 1; i <= 4; i++) {
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color[s] = i;
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if (colorSame(s) == 0) tryColor(s + 1);
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color[s] = 0;
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}
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}
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int colorSame(int s) {
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int flag = 0;
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for (int i = 1; i <= s-1; i++)
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if (data[i][s]==1 && color[i]==color[s]) flag = 1;
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return flag;
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}
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```
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**时间复杂度**：O(4ⁿ)
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```mermaid
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flowchart TD
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A["Try Region s"] --> B["For color = 1 to 4"]
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B --> C{"Adjacent Same Color?"}
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C -->|"No"| D["Try Next Region (s+1)"]
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D --> E{"All Regions Colored?"}
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E -->|"Yes"| F["Output Solution"]
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E -->|"No"| B
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C -->|"Yes"| G["Backtrack: Try Next Color"]
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```
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#### 2. 两台机器流水作业调度（Johnson算法）
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某厂有6个加工任务，在印刷车间和装订车间所需时间如下：
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| 任务 | J1 | J2 | J3 | J4 | J5 | J6 |
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|------|----|----|----|----|----|-----|
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| 印刷 | 3 | 12 | 5 | 2 | 9 | 11 |
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| 装订 | 8 | 10 | 9 | 6 | 3 | 1 |
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**参考答案：**
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**Johnson算法**：最优顺序 **J4→J1→J3→J2→J5→J6**，最短加工时间 **43天**
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```c
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int job[6][2] = {{3,8},{12,10},{5,9},{2,6},{9,3},{11,1}};
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int x[6], bestx[6], bestf = 32767;
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int f1 = 0, f2[7] = {0};
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void tryJob(int i) {
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if (i == 6) {
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for (int j = 0; j < 6; j++) bestx[j] = x[j];
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bestf = f2[i];
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} else {
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for (int j = i; j < 6; j++) {
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||
f1 += job[x[j]][0];
|
||
f2[i] = (f2[i-1] > f1 ? f2[i-1] : f1) + job[x[j]][1];
|
||
if (f2[i] < bestf) {
|
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swap(x[i], x[j]);
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tryJob(i + 1);
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swap(x[i], x[j]); // 回溯
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}
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||
f1 -= job[x[j]][0];
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}
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||
}
|
||
}
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```
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> [!tip] Johnson算法要点
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> 1. 找矩阵中最小值
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> 2. 若在机器1（上行）→ 排最前
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> 3. 若在机器2（下行）→ 排最后
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> 4. 划掉已排作业，重复直到排完
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> 时间复杂度：O(nlogn)
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## 关联笔记
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- [[算法设计与分析/试题册/试题1]]
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- [[算法设计与分析/试题册/试题2]]
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- [[算法设计与分析/试题册/试题3]]
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||
- [[算法设计与分析/试题册/试题4]]
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