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create time: 2026-06-10 10:00
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# 试题 3 — 武汉科技大学《算法设计与分析》

## 概述

- **课程**：算法设计与分析
- **学校**：武汉科技大学（2012级计算机学院）
- **题型**：单项选择题、判断题、简答题、程序填空题、算法设计与编程题
- **知识点**：递归复杂度、排序算法、图搜索(BFS/DFS)、动态规划、回溯法

> [!tip] 学习建议
> 本试题覆盖了算法设计的核心方法论，特别关注 **BFS与DFS的对比** 和 **动态规划的基本思想**。建议结合代码填空题加深对递归框架的理解。

## 正文

### 一、单项选择题（每题2分，共10题，20分）

**从备选的答案中选出合适的答案，并把答案标号写在答题纸中。**

1. 下列哪些不是算法的 3 要素（ ）。
   - A. 操作
   - B. 控制结构
   - C. 数据结构
   - D. 输入输出

2. 冒泡排序的时间复杂度为（ ）。
   - A. O(n)
   - B. O(n²)
   - C. O(n³)
   - D. O(nlogn)

3. 下列算法中错误的是（ ）。
   - A. 算法的每一步骤必须有确切的含义
   - B. 算法的时间复杂度与实现语言无关
   - C. 对于特殊的输入，算法的时间复杂度可以是不固定的
   - D. 算法的运行时间与编写程序的语言无关

4. 求 n 个数中的最小数，时间复杂度为（ ）。
   - A. O(1)
   - B. O(n)
   - C. O(n²)
   - D. O(nlogn)

5. 调用函数 `int fib(int n) { return (n>1 ? fib(n-1)+fib(n-2) : n); }` 时间复杂度是（ ）。
   - A. O(n)
   - B. O(n²)
   - C. O(2ⁿ)
   - D. 无递归调用

6. 栈是一种基于什么机制实现的数据结构？（ ）
   - A. 先进先出
   - B. 先进后出
   - C. 随机存取
   - D. 索引存取

7. 流程图是描述算法的常用工具，下列哪种符号表示判断（ ）。
   - A. 圆形
   - B. 椭圆形
   - C. 菱形
   - D. 平行四边形

8. 深度优先遍历在搜索空间树上的搜索方式为（ ）。
   - A. 广度优先
   - B. 深度优先
   - C. 最小耗费优先
   - D. 综合优先

9. 下述算法中正确的是（ ）。
   - A. 广度优先遍历算法只适合于无向图
   - B. 广度优先遍历算法只适合于有向图
   - C. 遍历一个无向图可能需要多次调用DFS或BFS
   - D. 只需一次调用DFS或BFS即可遍历一个无向图

10. 以下关于迭代法的描述中，正确的是（ ）。
    - A. 迭代算法在逻辑上总是可以转换为与它等价的递归算法
    - B. 每个递归算法在逻辑上总是可以转换为与它等价的循环结构算法
    - C. 迭代算法的可靠性比递归算法好
    - D. 迭代算法的执行效率一定比递归算法好

**参考答案：**

| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 答案 | D | B | C | B | C | B | C | B | C | A |

> [!warning] 易错点
> 第1题：算法三要素是**操作、控制结构、数据结构**，输入输出是算法的四个特性之一，不是三要素之一。第5题：斐波那契递归的时间复杂度是 O(2ⁿ)。第9题：无向图的连通分量可能需要多次调用BFS/DFS。

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### 二、判断题（每题2分，共10题，20分）

**正确的在括号内填 √，错误的填 ×。**

1. 算法中的状态和步骤具有有穷性。（ ）
2. 一个算法应该适用于解决某类问题。（ ）
3. O(n²) 和 O(3n²+3) 的两个算法的时间复杂度相同。（ ）
4. 经验空间复杂度是指算法在执行过程中临时占用存储空间的大小。（ ）
5. 回溯法就是穷举法，所不同的是对一般问题回溯法比穷举法效率低。（ ）
6. 一个算法一般适用于一个特定类型的问题。（ ）
7. 动态规划适合求解具有重叠子问题性质的问题。（ ）
8. 贪心算法和动态规划法都用于求解最优问题，且在每一步只做一次决策。（ ）

**参考答案：**

| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|------|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 答案 | × | √ | √ | × | × | √ | √ | × |

> [!note] 知识点辨析
> 第1题：算法的有穷性是指算法必须在有限步骤内结束，而不是"状态和步骤具有有穷性"。第5题：回溯法通过剪枝函数避免了穷举法的盲目搜索，效率通常更高。

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### 三、简答题（每题6分，共4题，24分）

#### 1. 层优先遍历

在该树中，如果按照层优先化 M 的编排，即节点 1 开始，依次遍历其儿子节点 2, 3, …，请依次给出遍历到的第五个节点和第八个节点的编号。

**参考答案：**

按照层优先（广度优先）遍历，第五个节点编号为 **5**，第八个节点编号为 **8**。

```mermaid
flowchart TD
    A["1"] --> B["2"]
    A --> C["3"]
    B --> D["4"]
    B --> E["5"]
    C --> F["6"]
    C --> G["7"]
    D --> H["8"]
```

> [!tip] 答题技巧
> 层优先遍历即 BFS，使用**队列**数据结构。按层级从左到右依次访问节点，第 n 层的节点在第 n+1 层之前全部被访问。

#### 2. 背包问题的贪心步骤

用贪心算法解决背包问题的基本步骤。

**参考答案：**

1. 计算每个物品的**性价比**（价值/重量）
2. 按性价比从高到低排序
3. 依次装入背包，直到背包装满或物品用完

> [!warning] 易错点
> 贪心法只能得到分数背包问题的最优解，对于 **0-1背包问题**（每个物品只能选或不选），贪心法不能保证最优解，需要用动态规划。

#### 3. 兔子问题（斐波那契数列）

一对初生的兔子满第三个月开始生小兔子，每对兔子生完一对小兔子后……小兔子长到第三个月也会生小兔子。假设不考虑兔子死亡，请问一年中共有多少对兔子？写出递推公式。

**参考答案：**

设第 n 个月的兔子对数为 f(n)：
- f(1) = 1，f(2) = 1
- f(n) = f(n-1) + f(n-2)，n ≥ 3

一年后（第12个月）：**f(12) = 144 对**

#### 4. 动态规划与分治法的异同

简要说明动态规划法与分治法的相似性和区别。

**参考答案：**

| 特性 | 分治法 | 动态规划 |
|------|--------|----------|
| 子问题 | 相互独立，不重叠 | 有重叠子问题 |
| 存储 | 不存储中间结果 | 表格存储中间结果 |
| 求解方向 | 自顶向下递归 | 自底向上递推或记忆化搜索 |
| 适用条件 | 可分解可合并 | 最优子结构 + 重叠子问题 |

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### 四、程序填空题（每空2分，2×10=20分）

#### 1. 递归回溯框架

```c
try(int i) {
    if (i <= 20) {           // (1) 判断是否到达目标
        if (check1(i) && check2(i))
            output(i);       // 输出结果
        else
            try(i+1);        // 递归
    }
}
check1(int x) {
    for (int j = 2; j <= x-1; j++)
        if (x % j == 0) return 0;  // (2) 判断是否为素数
    return 1;
}
```

**(1)** `i <= 20`　　**(2)** `x % j == 0`

#### 2. 迷宫搜索

```c
search(int i, int j) {
    for (int di = -1; di <= 1; di++)
        for (int dj = -1; dj <= 1; dj++) {
            if (maze[i+di][j+dj] == 1) {  // (3) 可通行
                maze[i+di][j+dj] = 2;     // 标记已访问
                search(i+di, j+dj);
            }
        }
    maze[i][j] = 0;  // 回溯
}
```

**(3)** `1`

> [!note] 教学提示
> 迷宫搜索是回溯法的典型应用。用标记数组或修改原数组来记录已访问的位置，回溯时恢复原值。

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### 五、算法设计与编程题（每题15分，共2题，30分）

#### 1. 图的着色问题（回溯法）

图1是一个正在构造的四色地图，使用至多四种不同颜色对地图进行涂色，相同区域相邻颜色不同。

**参考答案：**

**算法策略：回溯法**，依次为每个区域着色（1-4），检查相邻区域是否同色。

```c
int data[6][6] = {0};  // 邻接矩阵
int color[6] = {0};

void tryColor(int s) {
    if (s > 6) { output(); return; }
    for (int i = 1; i <= 4; i++) {
        color[s] = i;
        if (colorSame(s) == 0) tryColor(s + 1);
        color[s] = 0;
    }
}

int colorSame(int s) {
    for (int i = 1; i <= s-1; i++)
        if (data[i][s]==1 && color[i]==color[s]) return 1;
    return 0;
}
```

**时间复杂度**：O(4ⁿ)

#### 2. 流水作业调度（Johnson算法）

某厂有 m 个加工任务，在印刷车间和装订车间所需时间如下表。如何安排使加工时间最短。

| 任务 | J1 | J2 | J3 | J4 | J5 | J6 |
|------|----|----|----|----|----|-----|
| 印刷 | 3 | 12 | 5 | 2 | 9 | 11 |
| 装订 | 8 | 10 | 9 | 6 | 3 | 1 |

**参考答案：**

**Johnson算法**：找最小加工时间，若在印刷车间则排最前，若在装订车间则排最后。

最优顺序：**J4→J1→J3→J2→J5→J6**，最短加工时间：**43天**

```mermaid
flowchart LR
    A["Build Time Matrix"] --> B{"Find Minimum"}
    B -->|"In Row 1"| C["Place at Front"]
    B -->|"In Row 2"| D["Place at End"]
    C --> E["Remove & Repeat"]
    D --> E
    E --> B
```

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## 关联笔记

- [[算法设计与分析/试题册/试题1]]
- [[算法设计与分析/试题册/试题2]]