---
tags:
  - 算法设计与分析
  - 复习
  - 分治法
create time: 2026-06-10 11:11
---

# 分治法

## 概述
分治法（Divide and Conquer）是算法设计中最基础、最重要的策略之一。其核心思想是"大事化小"：将一个难以直接解决的大问题，分割成若干规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。本文将从基本思想出发，讲解分治法的三步骤、适用条件以及多个经典应用。

## 正文

### 一、分治法基本思想

分治法将一个大规模问题分解为 **k 个规模较小的子问题**，这些子问题互相独立且与原问题形式相同。递归地求解这些子问题，然后将子问题的解合并，得到原问题的解。

```mermaid
flowchart TD
    Problem["Original Problem P"]
    Divide["Divide: Split into subproblems"]
    Sub1["Subproblem P1"]
    Sub2["Subpattern P2"]
    Sub3["Subproblem Pk"]
    Conquer["Conquer: Solve each subproblem recursively"]
    Merge["Merge: Combine subproblem solutions"]
    Solution["Solution to P"]

    Problem --> Divide
    Divide --> Sub1
    Divide --> Sub2
    Divide --> Sub3
    Sub1 --> Conquer
    Sub2 --> Conquer
    Sub3 --> Conquer
    Conquer --> Merge
    Merge --> Solution
```

### 二、分治法三个步骤

1. **分解（Divide）**：将原问题分解为若干规模较小的子问题
2. **求解（Conquer）**：递归地求解各子问题。若子问题规模足够小，则直接求解
3. **合并（Merge）**：将子问题的解合并为原问题的解

### 三、适用条件

分治法适用需要同时满足以下条件：

- 问题可以**分解**为若干规模较小的子问题
- 子问题**相互独立**（没有重叠子问题）
- 子问题的解可以**合并**为原问题的解

> [!warning] 分治法与动态规划的关键区别
> 分治法要求子问题**相互独立、没有重叠**。如果子问题之间有重叠（即同一个子问题被多次计算），则应该使用动态规划。这是两者最本质的区别。

> [!question] 分治法和动态规划的本质区别是什么？
> 核心区别在于子问题是否重叠。分治法的子问题互相独立，每次求解不会重复；动态规划的子问题有重叠，所以需要把子问题的解存储起来避免重复计算。例如归并排序的子问题不重叠（左半和右半不交叉），适合分治；而Fibonacci的子问题严重重叠，适合动态规划。

### 四、经典应用

#### 4.1 归并排序（Merge Sort）

归并排序是分治法最经典的应用之一，时间复杂度 **O(n logn)**。

```plaintext
function mergeSort(A, left, right):
    if left < right:
        mid = (left + right) / 2
        mergeSort(A, left, mid)        // 分解：排序左半部分
        mergeSort(A, mid+1, right)     // 分解：排序右半部分
        merge(A, left, mid, right)     // 合并：合并两个有序子数组
```

- **分解**：将数组从中间分为两半
- **求解**：递归排序左右两半
- **合并**：将两个有序子数组合并为一个有序数组

#### 4.2 快速排序（Quick Sort）

- 平均时间复杂度 **O(n logn)**，最坏情况 **O(n²)**
- 最坏情况发生在每次 pivot 选择都不理想（如已排序数组选第一个元素为 pivot）

> [!question] 快速排序最坏情况下时间复杂度为什么是O(n²)?
> 当每次选择的 pivot 都是最大或最小元素时，划分极度不平衡，一边有 n-1 个元素，另一边为 0 个。递归方程变为 T(n) = T(n-1) + O(n)，解为 O(n²)。

#### 4.3 同时求最大值和最小值

**朴素方法**：分别查找最大值和最小值，需要 2(n-1) 次比较。

**分治改进**：将数组两两分组，每组内先比较，再分别维护最大值和最小值。

- 每组2个元素：组内比较1次，再与当前最大、最小各比较1次
- 比较次数从 **2(n-1)** 降至约 **3n/2**

```plaintext
function findMaxMin(A, n):
    // 初始化
    if n is odd:
        maxVal = minVal = A[1]
        start = 2
    else:
        if A[1] < A[2]:
            minVal = A[1], maxVal = A[2]
        else:
            minVal = A[2], maxVal = A[1]
        start = 3

    // 两两比较
    for i = start to n step 2:
        if A[i] < A[i+1]:
            smaller, larger = A[i], A[i+1]
        else:
            smaller, larger = A[i+1], A[i]
        if smaller < minVal: minVal = smaller
        if larger > maxVal: maxVal = larger
    return (maxVal, minVal)
```

**解释**：每次循环处理两个元素，组内比较1次确定大小，再分别与全局最大最小比较最多2次，所以每组最多3次比较。总比较次数约为 3(n-1)/2。

#### 4.4 找第二大/第二小的数

用分治法可以 **O(n)** 时间找到第二大的数：

1. 同时维护最大值和第二大的值
2. 只有当某个元素**大于当前最大值**时，才更新第二大值
3. 一次遍历即可完成

```plaintext
function findSecondMax(A, n):
    maxVal = A[1]
    secondMax = -infinity
    for i = 2 to n:
        if A[i] > maxVal:
            secondMax = maxVal    // 原来的最大变为第二
            maxVal = A[i]         // 更新最大
        else if A[i] > secondMax:
            secondMax = A[i]      // 更新第二
    return secondMax
```

#### 4.5 伪币问题

**问题**：有 n 枚硬币，其中一枚是假币（重量不同），用天平称量找出假币。

**分治策略**：

1. 将硬币分为**三组**（尽量均分）
2. 用天平称量其中两组
   - 若平衡：假币在第三组
   - 若不平衡：假币在较轻（或较重）的一组
3. 递归处理包含假币的那一组

**时间复杂度**：每次排除 2/3，总共只需 **O(log₃n)** 次称量。

> [!tip] 为什么是三路划分而不是二路？
> 天平有三种结果（左重、右重、平衡），对应三路划分。利用三种结果信息，每次排除 2/3 的可能性，效率远高于二分法的 1/2。

```mermaid
flowchart TD
    Start["n coins, find fake"]
    Split["Divide into 3 groups: A, B, C"]
    Weigh["Weigh group A vs group B"]
    Balance["A == B: fake in C"]
    Left["A < B: fake in A (lighter)"]
    Right["A > B: fake in B (lighter)"]
    Recurse["Recurse on the group with fake coin"]
    Found["Found the fake coin"]

    Start --> Split
    Split --> Weigh
    Weigh --> Balance
    Weigh --> Left
    Weigh --> Right
    Balance --> Recurse
    Left --> Recurse
    Right --> Recurse
    Recurse --> |"n > 1"| Weigh
    Recurse --> |"n = 1"| Found
```

### 五、分治法的递归方程求解

分治法的一般递归方程：

$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$

其中 a 是子问题个数，n/b 是子问题规模，f(n) 是分解与合并的代价。

| 算法 | a | b | f(n) | 复杂度 |
|------|---|---|------|--------|
| 二分查找 | 1 | 2 | O(1) | O(logn) |
| 归并排序 | 2 | 2 | O(n) | O(n logn) |
| 快速排序(平均) | 2 | 2 | O(n) | O(n logn) |
| 伪币问题 | 1 | 3 | O(1) | O(log₃n) |

## 关联笔记
- [[算法设计与分析/试题册/index|试题册索引]]