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create time: 2026-06-10 11:11
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# 动态规划

## 概述
动态规划（Dynamic Programming, DP）是解决多阶段决策最优化问题的重要方法。与贪心算法的"不回头"不同，动态规划通过系统地考察所有可能的子问题解，利用存储机制避免重复计算，从而高效地求得全局最优解。本文将从基本思想出发，讲解动态规划的五个步骤和多个经典应用。

## 正文

### 一、动态规划基本思想

动态规划的核心思想是：**通过存储子问题的解，避免重复计算，将优化问题转化为决策过程。**

```mermaid
flowchart TD
    Analyze["Step 1: Analyze optimal substructure"]
    State["Step 2: Define state (subproblems)"]
    Equation["Step 3: Write state transition equation"]
    Compute["Step 4: Compute bottom-up (fill table)"]
    Construct["Step 5: Construct optimal solution"]

    Analyze --> State
    State --> Equation
    Equation --> Compute
    Compute --> Construct
```

### 二、两个关键性质

1. **最优子结构（Optimal Substructure）**：问题的最优解包含子问题的最优解。可以通过组合子问题的最优解得到原问题的最优解。

2. **重叠子问题（Overlapping Subproblems）**：递归求解时，相同的子问题被反复计算。动态规划通过存储已解决的子问题解来避免重复计算。

> [!question] 动态规划的两个关键性质是什么？
> 最优子结构和重叠子问题。最优子结构说明子问题的最优解可以组合成全局最优解；重叠子问题说明存在重复计算，需要存储子问题的解。

### 三、动态规划五个基本步骤

这是解决动态规划问题的标准流程：

1. **分析最优子结构**：证明原问题的最优解包含子问题的最优解
2. **定义状态（子问题）**：明确 dp[i] 或 dp[i][j] 代表什么含义
3. **写出状态转移方程**：dp[i] 如何由之前的状态推导而来
4. **自底向上计算（填表）**：从小规模子问题开始，逐步填表
5. **构造最优解**：根据dp表回溯得到具体的最优解方案（不总是需要）

> [!warning] 状态定义是最关键的一步
> 动态规划的难点往往在于正确地定义状态。状态必须能完整描述一个子问题，且能通过之前的状态推导出来。

### 四、与分治法的区别

| 特性 | 分治法 | 动态规划 |
|------|--------|---------|
| 子问题关系 | 相互独立、无重叠 | 有重叠子问题 |
| 是否需要存储 | 不需要（子问题只算一次） | 需要（避免重复计算） |
| 计算方向 | 自顶向下递归 | 自底向上填表（也可记忆化递归） |
| 典型应用 | 归并排序、快速排序 | 0-1背包、LCS、矩阵链乘法 |

### 五、经典应用

#### 5.1 最大子数组和（Kadane算法）

**问题**：给定一个整数数组，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

**状态定义**：dp[i] = 以第 i 个元素结尾的最大子数组和

**状态转移方程**：

$$dp[i] = \max(arr[i], \ dp[i-1] + arr[i])$$

**含义**：以第 i 个元素结尾的最大子数组和，要么是从头开始（只取 arr[i]），要么是接在之前的最大子数组后面。

```plaintext
function maxSubarraySum(arr, n):
    dp = array of size n
    dp[0] = arr[0]
    maxSum = dp[0]

    for i = 1 to n-1:
        dp[i] = max(arr[i], dp[i-1] + arr[i])
        maxSum = max(maxSum, dp[i])

    return maxSum
```

**解释**：对每个位置 i，我们做一个决策——是从当前位置重新开始子数组，还是接在前面的子数组后面。选择较大的那个作为 dp[i]。最后取所有 dp[i] 的最大值。

> [!question] Kadane算法的时间复杂度是多少？为什么？
> O(n)，因为只需要一次遍历。对每个元素做常数次比较和赋值操作。

#### 5.2 n x n 矩阵最大路径和

**问题**：给定一个 n x n 的矩阵，从左上角走到右下角，每次只能向右或向下移动一步，求路径上的最大数字和。

**状态定义**：dp[i][j] = 从左上角到位置 (i,j) 的最大路径和

**状态转移方程**：

$$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], \ dp[i][j-1]) + matrix[i][j]$$

```plaintext
function maxMatrixPath(matrix, n):
    dp = n x n matrix
    dp[0][0] = matrix[0][0]

    // 填第一行（只能从左边来）
    for j = 1 to n-1:
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]

    // 填第一列（只能从上面来）
    for i = 1 to n-1:
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]

    // 填其余位置
    for i = 1 to n-1:
        for j = 1 to n-1:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

    return dp[n-1][n-1]
```

**解释**：到达位置 (i,j) 只能从上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1) 来。取两者中较大的路径和，加上当前位置的值。边界条件是第一行和第一列只有一条路径。

#### 5.3 阶梯问题/爬楼梯

**问题**：有 n 阶楼梯，每次可以爬 1 阶或 2 阶，求到达第 n 阶有多少种方法。

**状态转移方程**：

$$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$

**解释**：到达第 n 阶的方法数 = 从第 n-1 阶走1步 + 从第 n-2 阶走2步。这是一个变体的 Fibonacci 数列。

```plaintext
function climbStairs(n):
    if n <= 2: return n
    dp = array of size n+1
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    for i = 3 to n:
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]
```

> [!question] 爬楼梯和Fibonacci有什么关系？
> 爬楼梯的状态转移方程与Fibonacci完全相同：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。区别在于初始值不同：爬楼梯 f(1)=1, f(2)=2；Fibonacci F(0)=0, F(1)=1。所以爬楼梯本质上就是Fibonacci数列的平移。

#### 5.4 斐波那契数列（动态规划解法）

用动态规划可以将 Fibonacci 从 O(2ⁿ) 优化到 O(n)：

```plaintext
function fibDP(n):
    if n <= 1: return n
    dp = array of size n+1
    dp[0] = 0
    dp[1] = 1
    for i = 2 to n:
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]
```

> [!tip] 进一步优化空间
> 观察发现 dp[i] 只依赖 dp[i-1] 和 dp[i-2]，因此不需要整个数组，只需要两个变量。空间复杂度可从 O(n) 降到 O(1)。

#### 5.5 最长公共子序列（LCS）

**问题**：给定两个序列 X 和 Y，找到它们的最长公共子序列。

**状态定义**：dp[i][j] = X 的前 i 个字符和 Y 的前 j 个字符的 LCS 长度

**状态转移方程**：

$$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] + 1 & \text{if } X[i] = Y[j] \\ \max(dp[i-1][j], \ dp[i][j-1]) & \text{if } X[i] \neq Y[j] \end{cases}$$

```plaintext
function LCS(X, Y, m, n):
    dp = (m+1) x (n+1) matrix, all zeros

    for i = 1 to m:
        for j = 1 to n:
            if X[i] == Y[j]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

    return dp[m][n]
```

**解释**：如果当前字符匹配，则 LCS 长度等于去掉这两个字符后的 LCS 长度加 1；如果不匹配，则取"去掉 X 的当前字符"和"去掉 Y 的当前字符"两种情况的较大值。

#### 5.6 矩阵链乘法

**问题**：给定 n 个矩阵的链 A₁A₂...Aₙ，找到使标量乘法次数最少的加括号方式。

**状态定义**：dp[i][j] = 计算矩阵 Aᵢ 到 Aⱼ 的最少乘法次数

**状态转移方程**：

$$dp[i][j] = \min_{i \le k < j} \{ dp[i][k] + dp[k+1][j] + p_{i-1} \cdot p_k \cdot p_j \}$$

这是动态规划的经典应用，时间复杂度 O(n³)。

### 六、动态规划作为优化决策过程

> [!tip] 动态规划的本质
> 动态规划本质上是将一个**优化决策过程**分解为多个阶段，每个阶段做一次决策。通过存储每个阶段每个状态下的最优解，最终得到全局最优决策序列。

```mermaid
flowchart LR
    Init["Initial State S0"]
    Decision1["Decision d1"]
    State1["State S1"]
    Decision2["Decision d2"]
    State2["State S2"]
    Dots["..."]
    DecisionN["Decision dn"]
    Final["Final State Sn"]

    Init --> Decision1
    Decision1 --> State1
    State1 --> Decision2
    Decision2 --> State2
    State2 --> Dots
    Dots --> DecisionN
    DecisionN --> Final
```

## 关联笔记
- [[算法设计与分析/试题册/index|试题册索引]]