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- 算法设计与分析
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- 试题
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- 武汉科技大学
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create time: 2026-06-10 10:00
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# 试题 3 — 武汉科技大学《算法设计与分析》
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## 概述
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- **课程**：算法设计与分析
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- **学校**：武汉科技大学（2012级计算机学院）
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- **题型**：单项选择题、判断题、简答题、程序填空题、算法设计与编程题
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- **知识点**：递归复杂度、排序算法、图搜索(BFS/DFS)、动态规划、回溯法
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> [!tip] 学习建议
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> 本试题覆盖了算法设计的核心方法论，特别关注 **BFS与DFS的对比** 和 **动态规划的基本思想**。建议结合代码填空题加深对递归框架的理解。
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## 正文
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### 一、单项选择题（每题2分，共10题，20分）
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**从备选的答案中选出合适的答案，并把答案标号写在答题纸中。**
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1. 下列哪些不是算法的 3 要素（ ）。
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- A. 操作
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- B. 控制结构
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- C. 数据结构
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- D. 输入输出
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2. 冒泡排序的时间复杂度为（ ）。
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- A. O(n)
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- B. O(n²)
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- C. O(n³)
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- D. O(nlogn)
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3. 下列算法中错误的是（ ）。
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- A. 算法的每一步骤必须有确切的含义
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- B. 算法的时间复杂度与实现语言无关
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- C. 对于特殊的输入，算法的时间复杂度可以是不固定的
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- D. 算法的运行时间与编写程序的语言无关
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4. 求 n 个数中的最小数，时间复杂度为（ ）。
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- A. O(1)
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- B. O(n)
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- C. O(n²)
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- D. O(nlogn)
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5. 调用函数 `int fib(int n) { return (n>1 ? fib(n-1)+fib(n-2) : n); }` 时间复杂度是（ ）。
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- A. O(n)
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- B. O(n²)
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- C. O(2ⁿ)
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- D. 无递归调用
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6. 栈是一种基于什么机制实现的数据结构？（ ）
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- A. 先进先出
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- B. 先进后出
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- C. 随机存取
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- D. 索引存取
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7. 流程图是描述算法的常用工具，下列哪种符号表示判断（ ）。
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- A. 圆形
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- B. 椭圆形
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- C. 菱形
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- D. 平行四边形
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8. 深度优先遍历在搜索空间树上的搜索方式为（ ）。
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- A. 广度优先
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- B. 深度优先
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- C. 最小耗费优先
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- D. 综合优先
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9. 下述算法中正确的是（ ）。
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- A. 广度优先遍历算法只适合于无向图
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- B. 广度优先遍历算法只适合于有向图
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- C. 遍历一个无向图可能需要多次调用DFS或BFS
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- D. 只需一次调用DFS或BFS即可遍历一个无向图
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10. 以下关于迭代法的描述中，正确的是（ ）。
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- A. 迭代算法在逻辑上总是可以转换为与它等价的递归算法
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- B. 每个递归算法在逻辑上总是可以转换为与它等价的循环结构算法
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- C. 迭代算法的可靠性比递归算法好
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- D. 迭代算法的执行效率一定比递归算法好
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**参考答案：**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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| 答案 | D | B | C | B | C | B | C | B | C | A |
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> [!warning] 易错点
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> 第1题：算法三要素是**操作、控制结构、数据结构**，输入输出是算法的四个特性之一，不是三要素之一。第5题：斐波那契递归的时间复杂度是 O(2ⁿ)。第9题：无向图的连通分量可能需要多次调用BFS/DFS。
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### 二、判断题（每题2分，共10题，20分）
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**正确的在括号内填 √，错误的填 ×。**
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1. 算法中的状态和步骤具有有穷性。（ ）
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2. 一个算法应该适用于解决某类问题。（ ）
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3. O(n²) 和 O(3n²+3) 的两个算法的时间复杂度相同。（ ）
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4. 经验空间复杂度是指算法在执行过程中临时占用存储空间的大小。（ ）
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5. 回溯法就是穷举法，所不同的是对一般问题回溯法比穷举法效率低。（ ）
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6. 一个算法一般适用于一个特定类型的问题。（ ）
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7. 动态规划适合求解具有重叠子问题性质的问题。（ ）
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8. 贪心算法和动态规划法都用于求解最优问题，且在每一步只做一次决策。（ ）
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**参考答案：**
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| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| 答案 | × | √ | √ | × | × | √ | √ | × |
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> [!note] 知识点辨析
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> 第1题：算法的有穷性是指算法必须在有限步骤内结束，而不是"状态和步骤具有有穷性"。第5题：回溯法通过剪枝函数避免了穷举法的盲目搜索，效率通常更高。
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### 三、简答题（每题6分，共4题，24分）
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#### 1. 层优先遍历
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在该树中，如果按照层优先化 M 的编排，即节点 1 开始，依次遍历其儿子节点 2, 3, …，请依次给出遍历到的第五个节点和第八个节点的编号。
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**参考答案：**
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按照层优先（广度优先）遍历，第五个节点编号为 **5**，第八个节点编号为 **8**。
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```mermaid
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flowchart TD
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A["1"] --> B["2"]
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A --> C["3"]
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B --> D["4"]
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B --> E["5"]
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C --> F["6"]
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C --> G["7"]
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D --> H["8"]
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```
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> [!tip] 答题技巧
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> 层优先遍历即 BFS，使用**队列**数据结构。按层级从左到右依次访问节点，第 n 层的节点在第 n+1 层之前全部被访问。
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#### 2. 背包问题的贪心步骤
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用贪心算法解决背包问题的基本步骤。
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**参考答案：**
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1. 计算每个物品的**性价比**（价值/重量）
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2. 按性价比从高到低排序
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3. 依次装入背包，直到背包装满或物品用完
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> [!warning] 易错点
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> 贪心法只能得到分数背包问题的最优解，对于 **0-1背包问题**（每个物品只能选或不选），贪心法不能保证最优解，需要用动态规划。
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#### 3. 兔子问题（斐波那契数列）
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一对初生的兔子满第三个月开始生小兔子，每对兔子生完一对小兔子后……小兔子长到第三个月也会生小兔子。假设不考虑兔子死亡，请问一年中共有多少对兔子？写出递推公式。
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**参考答案：**
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设第 n 个月的兔子对数为 f(n)：
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- f(1) = 1，f(2) = 1
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- f(n) = f(n-1) + f(n-2)，n ≥ 3
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一年后（第12个月）：**f(12) = 144 对**
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#### 4. 动态规划与分治法的异同
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简要说明动态规划法与分治法的相似性和区别。
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**参考答案：**
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| 特性 | 分治法 | 动态规划 |
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|------|--------|----------|
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| 子问题 | 相互独立，不重叠 | 有重叠子问题 |
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| 存储 | 不存储中间结果 | 表格存储中间结果 |
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| 求解方向 | 自顶向下递归 | 自底向上递推或记忆化搜索 |
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| 适用条件 | 可分解可合并 | 最优子结构 + 重叠子问题 |
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### 四、程序填空题（每空2分，2×10=20分）
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#### 1. 递归回溯框架
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```c
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try(int i) {
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if (i <= 20) { // (1) 判断是否到达目标
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if (check1(i) && check2(i))
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output(i); // 输出结果
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else
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try(i+1); // 递归
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}
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}
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check1(int x) {
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for (int j = 2; j <= x-1; j++)
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if (x % j == 0) return 0; // (2) 判断是否为素数
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return 1;
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}
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```
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**(1)** `i <= 20` **(2)** `x % j == 0`
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#### 2. 迷宫搜索
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```c
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search(int i, int j) {
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for (int di = -1; di <= 1; di++)
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for (int dj = -1; dj <= 1; dj++) {
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if (maze[i+di][j+dj] == 1) { // (3) 可通行
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maze[i+di][j+dj] = 2; // 标记已访问
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search(i+di, j+dj);
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}
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}
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maze[i][j] = 0; // 回溯
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}
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```
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**(3)** `1`
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> [!note] 教学提示
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> 迷宫搜索是回溯法的典型应用。用标记数组或修改原数组来记录已访问的位置，回溯时恢复原值。
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### 五、算法设计与编程题（每题15分，共2题，30分）
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#### 1. 图的着色问题（回溯法）
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图1是一个正在构造的四色地图，使用至多四种不同颜色对地图进行涂色，相同区域相邻颜色不同。
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**参考答案：**
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**算法策略：回溯法**，依次为每个区域着色（1-4），检查相邻区域是否同色。
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```c
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int data[6][6] = {0}; // 邻接矩阵
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int color[6] = {0};
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void tryColor(int s) {
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if (s > 6) { output(); return; }
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for (int i = 1; i <= 4; i++) {
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color[s] = i;
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if (colorSame(s) == 0) tryColor(s + 1);
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color[s] = 0;
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}
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}
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int colorSame(int s) {
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for (int i = 1; i <= s-1; i++)
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if (data[i][s]==1 && color[i]==color[s]) return 1;
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return 0;
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}
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```
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**时间复杂度**：O(4ⁿ)
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#### 2. 流水作业调度（Johnson算法）
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某厂有 m 个加工任务，在印刷车间和装订车间所需时间如下表。如何安排使加工时间最短。
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| 任务 | J1 | J2 | J3 | J4 | J5 | J6 |
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| 印刷 | 3 | 12 | 5 | 2 | 9 | 11 |
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| 装订 | 8 | 10 | 9 | 6 | 3 | 1 |
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**参考答案：**
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**Johnson算法**：找最小加工时间，若在印刷车间则排最前，若在装订车间则排最后。
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最优顺序：**J4→J1→J3→J2→J5→J6**，最短加工时间：**43天**
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```mermaid
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flowchart LR
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A["Build Time Matrix"] --> B{"Find Minimum"}
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B -->|"In Row 1"| C["Place at Front"]
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B -->|"In Row 2"| D["Place at End"]
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C --> E["Remove & Repeat"]
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D --> E
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E --> B
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```
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## 关联笔记
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- [[算法设计与分析/试题册/试题1]]
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- [[算法设计与分析/试题册/试题2]]
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